Теория игр - теоретический материал, все вопросы. Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе. Теория игр. Теория игр для экономистов задачи


Применение теории игр в экономике

В данной статье рассматривается применение теории игр в экономике. Теория игр является разделом математической экономики. Она разрабатывает рекомендации по рациональному действию участников процесса при несовпадении их интересов. Теория игр помогает предприятиям принять оптимальное решение в условиях конфликтной ситуации.

Теория игр и экономика неразрывно связаны друг другом, так как методы решения задач теории игр помогают определить наилучшую стратегию различных экономических ситуаций. Так как же характеризуется понятие «теория игр»?

Теория игр представляет собой математическую теорию принятия решений в условиях конфликта. Теория игр есть важная часть теории исследования операций, изучающая вопросы принятия решений в конфликтных ситуациях [1].

Теория игр является разделом математической экономики. Целью теории игр является разработка рекомендаций по рациональному действию участников процесса при несовпадении их интересов, т. е. в условиях конфликтной ситуации. Игра является моделью конфликтной ситуации. Игроками в экономике являются партнеры, которые принимают участие в конфликте. Результат конфликта – выигрыш или проигрыш [2].

В общем, конфликт имеет место быть в разных областях человеческого интереса: в экономике, социологии, политологии, биологии, кибернетике, военном деле. Чаще всего теория игр и конфликтные ситуации применяется в экономике. Для каждого игрока присутствует определенный набор стратегий, которые игрок может применить. Пересекаясь, стратегии нескольких игроков создают определенную ситуацию, где каждый игрок получает определенный результат (выигрыш или проигрыш). При выборе стратегии важно учитывать не только получение максимального выигрыша для себя, но так же возможные шаги противника, и их влияние на ситуацию в целом.

Чтобы повысить качество, а также эффективность принимаемых экономических решений в условиях рыночных отношений и неопределенности разумно могут применяться методы теории игр.

В экономических ситуациях игры могут иметь полную информацию или же неполную. Чаще всего экономисты сталкиваются с неполной информацией для принятия решений. Поэтому необходимо принимать решения в условиях неопределенности, а также в условиях определенного риска. При решении экономических задач (ситуаций) обычно сталкиваются с одноходовыми и многоходовыми играми. Количество стратегий может быть конечным или же бесконечным [4].

Теория игр в экономике использует, в основном, матричные или прямоугольные игры, для которых составляют платежную матрицу (Таблица 1).

Таблица 1. Платежная матрица игры

В1

В2

Вn

A1

A2

Am

Следует дать определение данному понятию. Платежная матрица игры – это матрица, которая показывает платеж одного игрока другому при условии, что первый игрок выбирает стратегию Аi, второй – Вi [4].

Какую цель за собой преследует решение экономических задач с помощью теории игр? Решить экономическую задачу – это найти оптимальную стратегию первого и второго игрока и найти цену игры.

Решим экономическую задачу, составленную мной.

В городе Г имеются две конкурирующие компании («Сладкий мир» и «Сладкоежка»), которые занимаются производством шоколада. Обе компании могут производить молочный шоколад и горький шоколад. Стратегию компании «Сладкий мир» обозначим Аi, компании «Сладкоежка» - Вi. Рассчитаем эффективность для всех возможных вариантов сочетаний стратегий компаний «Сладкий мир» и «Сладкоежка» и построим платежную матрицу (Таблица 2).

Таблица 2. Платежная матрица игры

У данной платежной матрицы нет седловой точки, поэтому она решается в смешанных стратегиях.

U1 = (а22-а21) / (а11+а22-а21-а12) = (6-3) / (5+6-3-4) =0,75.

U2 = (а11-а12) / (а11+а22-а21-а12) = (5-4) / (5+6-3-4) = 0,25.

Z1 = (а22-а12) / (а11+а22-а21-а12) = (6-4) / (5+6-3-4) = 0,4.

Z2 = (а11-а21) / (а11+а22-а21-а12) = (5-3) / (5+6-3-4) = 0,6.

Цена игры = (а11*а22-а12*а21) / (а11+а22-а21-а12) = (5*6-4*3) / (5+6-3-4) = 4,5.

Мы можем сказать, что компании «Сладкий мир» следует распределить производство шоколада следующим образом: 75% от общего объема производства отдать производству молочного шоколада, а 25% - производству горького шоколада. Компания «Сладкоежка» на 40% должна производить молочный шоколад и на 60% - горький.

Теория игр занимается принятием решений в условиях конфликтных ситуаций двумя и более разумными противниками, каждый из которых стремится оптимизировать свои решения за счет других [3].

Таким образом, в данной статье было рассмотрено применение теории игр в экономике. В экономике часто возникают моменты, когда необходимо принять оптимальное решение, а вариантов принятия решений несколько. Теория игр помогает принять решение в условиях конфликтной ситуации. Теория игр в экономике может помочь определить оптимальный выпуск продукции для предприятия, оптимальную выплату страховых взносов и т. п.

novainfo.ru

Создание и использование программы для статистического анализа сведенных задач теории игр в экономической интерпретации к задачам линейного программирования



В данной работе решается задача сбора статистических данных при использовании программы, которая решает экономические задачи теории игр, сводя их к задачам линейного программирования (ЗЛП). Приводится теоретическая часть экономической интерпретации теории игр, описан алгоритм приведения задачи к ЗЛП. Анализируется использование прикладной программы для сбора математической статистики.

Ключевые слова: теория игр, экономические задачи, линейное программирование, математическая статистика.

1 Теория игр. Экономическая интерпретация.

Теорию игр чаще всего рассматривают как раздел математической экономики, изучающий решение конфликтов между игроками и оптимальность их стратегий. Конфликт может относиться к разным областям человеческого интереса: чаще всего это экономика, социология, политология. В данной работе рассматривается как раз область экономики.

В данном случае целью теории игр является выработка рекомендаций или нахождение конкретных решений для различного поведения конкурентов (игроков) в конфликтной ситуации (игре), т. е. выбор оптимальной стратегии для каждого из них. Игровая модель, в отличие от конфликтной ситуации, строится по определенным законам, а игроки придерживаются определенных правил.

Решение экономической игры сводится к получению результатов, которые показывают в каком соотношении нужно выбирать тактику для получения наибольшей выгоды или набор тактик, которые нужно выполнять одновременно. Для более точного прогнозирования прибыли (убытков) следует так же вести статистику и на основе полученных данных делать анализ.

2 Общая теория матричных игр. Алгоритм.

Описание игры включает перечень игроков, множество возможных их действий и оценки эффективности этих действий для каждого из игроков. Преимущество представления игры в виде матрицы заключается в хорошей наглядности.

Все возможные исходы игры сводятся в таблицу (табл. 1), которую принято называть платежной матрицей. Строки таблицы соответствуют различным стратегиям первого игрока, а столбцы — стратегиям второго игрока. называется выигрыш первого игрока.

Выбор действия называют выбором стратегии игрока. Если каждый игрок может выбрать только одно из конечного множества своих действий, то это называется решением игры в чистых стратегиях, иначе — решением игры в смешанных стратегиях.

Проверкой игры на решение в чистых (смешанных) стратегиях является проверка на наличие седловой точки. В играх с нулевой суммой седловая точка платёжной матрицы является равновесием Нэша. Таким образом, если седловая точка была определена, то решение находится в чистых стратегиях и наоборот.

Для нахождения седловой точки нужно найти минимальный элемент в каждой строке и максимальный в каждом столбце. Далее найти — максимальный из минимальных и — минимальный из максимальных элементов. Первое значение является нижней ценой игры и минимальным гарантированным выигрышем первого игрока, второе — верхней ценой игры и максимальным значением проигрыша второго игрока. Если нижняя и верхняя границы совпадают — это значение является седловой точкой и, соответственно, ценой игры т. е. первый игрок получит максимальную выгоду, равную этому значению, а второй проиграет не больше этого значения.

При условии, что седловая точка не была найдена, решение ищется в смешанных стратегиях. Смешанной стратегией первого игрока называется вектор , где m — количество строк, все и . При этом – вероятность, с которой первый игрок выбирает свою i-ю стратегию. Аналогично определяется смешанная стратегия второго игрока. Чистая стратегия также подпадает под определение смешанной — в этом случае все вероятности равны нулю, кроме одной, равной единице.

Таблица 1

Платежная матрица

Для начала определяется седловая точка. Считаем, что первый игрок выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а второй игрок выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш первого игрока. Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры . Верхняя цена игры . Точка является седловой, если . Если такая точка была найдена, то выписывается решение в чистых стратегиях. Иначе цена игры находится в промежутке и решение игры находится в смешанных стратегиях.

Для решения игры в смешанных стратегиях рассмотрим задачу отыскивания оптимальной стратегии второго игрока по ПМ из таблицы 1.

Цена игры v неизвестна, однако можно считать, что . Последнее условие выполняется всегда, если все элементы ПМ неотрицательны, а этого можно достигнуть, прибавив ко всем элементам матрицы минимальный элемент в ней. Будем считать, что .

Таблица 2

Преобразованная платежная матрица

Целевая функция имеет вид: (1)

Ограничения ЗПЛ определяются по формулам:

(2)

Преобразуем систему ограничений 2, разделив все члены неравенства на v.

(3)

где

По условию , разделим обе части на v и получим новую целевую функцию: (4)

Оптимальная стратегия игрока 2 должна минимизировать величину v, следовательно, функция должна принимать максимальное значение.

Получена задача линейного программирования: найти максимум целевой функции (4) при ограничениях (3).

Решаем задачу симплекс-методом и получаем значения . Цена игры находится по формуле: , а вероятности использования тактик игроком 2 по формуле: .

Из таблицы, в которой содержатся значения последней итерации симплекс-метода, можно получить значения решения двойственной задачи . Эти значения являются значениями в столбцах добавочных переменных в последней строке. Для нахождения вероятности использования тактик игрока 1 применяем формулу: . Так как мы преобразовывали матрицу, то следует отнять от цены игры минимальный элемент: .

В итоге получим решение матричной игры в смешанных стратегиях: , которое показывает вероятности использования стратегий игроками и цену игры.

Данный метод решения подходит для всех матричных игр для двух игроков с неограниченным количеством стратегий игроков.

4 Прикладная программа

Данная программа была написана в интегрированной среде разработки MS Visual Studio 2017 с использованием языка c# и платформы.NET Framework, выполняющая 9 различных функций. Интерфейс и пример решения показан на рис. 1.

Рис. 1. Демонстрация интерфейса и решения с помощью прикладной программы

Рассмотрим пример решения задачи: швейное предприятие, выпускающее детские платья и костюмы, реализует свою продукцию через фирменный магазин. Сбыт продукции зависит от состояния погоды. Но данным прошлых наблюдений предприятие в течении апреля — мая в условиях теплой погоды может реализовать 600 костюмов и 1975 платьев, а при прохладной погоде 1000 костюмов и 625 платьев. Известно, что затраты на единицу продукции в течение указанных месяцев составили для костюмов 27 руб., для платьев 8 руб., а цена реализации равна соответственно 48 руб. и 16 руб.

Предприятие располагает в этих условиях двумя стратегиями: стратегия — в расчете на теплую погоду и стратегия — в расчете на холодную погоду. Природу будим рассматривать как второго игрока также с двумя стратегиями: прохладная погода () и теплая погода ().

Если предприятие выберет стратегию , то в случае прохладной погоды () доход составит: 6 800 руб., а в случае теплой погоды () доход равен 28 400 руб.

Если предприятие выберет стратегию , то реализация продукции в условиях прохладной погоды даст доход 26 000 руб., а в условиях теплой погоды 6 800.

Таблица 3

Условие задачи. Платежная матрица

Внесем условие задачи в прикладную программу и найдем решение (рис. 2).

Рис. 2. Решение задачи

Таким образом получаем, что с вероятностью 53 % будет прохладная погода, а 47 % — тёплая. Таким образом швейному предприятию стоит выпускать 47 % продукции в расчете на теплую погоду, а 53 % продукции — с расчетом на прохладную погоду, от общего количества реализованной продукции за период, чтобы получить среднюю прибыль в размере 16964руб.

Найдем решения случайно заполненных платежных матриц при разных значениях размерности и диапазона значений случайного заполнения.

Таблица 4

Зависимость частоты присутствия седловой точки от диапазона случайного заполнения иразмерности матрицы

Размерность матрицы

Диапазон значений

3*3

6*6

9*9

3

27

8

6

7

25

5

4

10

21

0

2

15

20

1

0

20

14

2

0

30

13

0

0

40

18

1

0

Рис. 3. Графики зависимости частоты присутствия седловой точки от диапазона случайного заполнения

Данные из таблицы 4 и рис. 3 наглядно демонстрируют, что данную прикладную программу можно использовать в целях сбора статистических данных о проведении ряда экспериментов со случайными значениями. Так, например, в матрице размерностью 3*3 за 7 экспериментов средний процент присутствия седловой сточки составляет 39,4 %. Также можно заметит, что процент присутствия седловой точки уменьшается с увеличением диапазона допустимых значений. В итоге для задач, где количество допустимых стратегий игроков меньше, соответственно больший шанс выбора единственно верной тактики.

Анализ полученных результатов при решении задач и тестовых прогонов прикладной программы показывает, что программа в полной мере справляется с поставленной задачей и выполняет все реализованные функции.

Данная система прошла все проверки и находится в полностью работоспособном состоянии. Дальнейшая разработка связана с расширением функционала программы.

Литература:
  1. Д. Кнут «Искусство программирования. Том 1. Основные алгоритмы» 2015г. 720стр. Издательство: Вильямс.
  2. Романьков, В А Введение В Теорию Игр: Учебное Пособие / Романьков В А. — Москва: ИЛ, 2016. — 834 cтр.
  3. Рейзлин В. И. Численные методы оптимизации: Учебное пособие / Погребной В. К. — Томск: НИ ПТУ, 2013. — 103стр.
  4. Ашманов С. А. Линейное программирование. М.: Наука. 1981.
  5. Орлов А. И. Теория принятия решений Учебное пособие. — М.: Издательство «Март», 2004.
  6. Зиборов, В. В. Visual C# 2012 на примерах / В. В. Зиборов. — М.: БХВ-Петербург, 2013. — 480с.

Основные термины (генерируются автоматически): прикладная программа, прохладная погода, теплая погода, цена игры, стратегия, игрок, платежная матрица, решение игры, теория игр, решение.

moluch.ru

Некоторые примеры теории игр в экономике

Поиск Лекций

 

В качестве примеров применения теории игр в экономике можно назвать решения по поводу проведения принципиальной ценовой политики, вступления на новые рынки, кооперации и создания совместных предприятий, определения лидеров и исполнителей в области инноваций, вертикальной интеграции и т.д.

Рассмотрим двух гигантов, конкурирующих на рынке производства пассажирских самолетов: «Боинг» и «Эйрбас». Предельные издержки производства самолетов одинаковы у каждой компании и равны 10 млн. долларов за штуку.

Рыночный спрос на самолёты показан в таблице 1.

 

Таблица 1 – Рыночный спрос на самолёты

P, млн. долл. Q, штук

 

В таблице 2 приведена прибыль конкурентов, если они договорятся о разделе рынка пополам.

 

Таблица 2 – Прибыль компаний «Боинг» и «Эйрбас» в случае раздела рынка

P, млн. долл. Q, штук TR, млн. долл. TC, млн. долл. Общая прибыль Прибыль каждого участника
-2000 -1000

Продолжение таблицы 2

 

Прибыль участников будет максимальна, если они оба произведут по 45 самолетов (вместе 90) и равна в этом случае 2025 млн. долл. Эта точка является Парето-оптимумом, то есть в ней состояние одного участника нельзя улучшить без ухудшения состояния другого.

Каждый из участников может думать следующим образом:

Если я произвожу 45 самолетов и мой конкурент производит 45 самолетов, то наша общая прибыль будет максимальной, и я получу половину от максимальной общей прибыли. Однако что мешает мне произвести не 45, а 55 самолетов? В этом случае, если мой конкурент не предпримет ответных действий, общий объем продаж вырастет до 100, цена упадет до 50, а получу выручку 55∙50=2750 и прибыль 2750-550=2200. Тогда прибыль моего конкурента составит 50∙45-10∙45=1800.

Точно также может думать и другой участник, и в таком случае они оба произведут по 55 самолетов. В этом случае общий объём продаж вырастет до 110, цена упадет до 45, общая прибыль будет равна 1925, и каждый из участников получит прибыль 1925.

Игра этой ситуации описывается следующей матрицей выигрышей рисунок 4.

  Боинг
Произвести 45 Произвести 55
Эйрбас Произвести 45 (2025;2025) (2200;1800)
Произвести 55 (1800;2200) (1925;1925)

 

Рисунок 4 – Матрица выигрышей для компаний «Боинг» и «Эйрбас»

 

Первое значение в скобках означает прибыль Боинга, второе – прибыль Эйрбаса.

Если между участниками не заключено договоренностей, то каждый из них имеет стимулы произвести 55, а не 45 штук, чтобы увеличить свою прибыль. В этом случае производство 55 штук является доминирующей стратегий для каждого участника. Нэш-равновесие устанавливается в ситуации, когда они оба производят по 55 штук и получают прибыль в размере 1925 млн. долл. Это равновесие не является Парето-оптимальным.

Данная ситуация показывает, как эгоистические интересы каждого из участников мешают им достигнуть оптимального значения прибыли.

Рассмотрим пример «доминирующей стратегии», в котором одним из участников принимается решение относительно проникновения на новый рынок. Возьмем предприятие, которое выступает в качестве монополиста на каком-либо рынке. Другое предприятие обдумывает вопрос о проникновении на рынок. Компания-аутсайдер может принять решение о вступлении или невступлении на рынок. Компания-монополист может отреагировать на появление нового конкурента агрессивно или дружественно. Оба предприятия вступают в двухэтапную игру, в которой первый ход делает компания-аутсайдер. Игровая ситуация с указанием платежей показана в виде дерева на рисунке 3.

Рисунок 3 – Решение о проникновении на рынок

 

Та же самая игровая ситуация может быть представлена и в нормальной форме (рисунок 4). Здесь обозначены два состояния – «вступление – дружественная реакция» и «невступление – агрессивная реакция». Очевидно, что второе равновесие несостоятельно. Из развернутой формы следует, что для уже закрепившейся на рынке компании нецелесообразно реагировать агрессивно на появление нового конкурента: при агрессивном поведении теперешний монополист получает 1(платеж), а при дружественном – 3. Компания-аутсайдер к тому же знает, что для монополиста не рационально начинать действия по ее вытеснению, и поэтому она принимает решение о вступлении на рынок. Грозившие потери в размере (-1) компания-аутсайдер не понесет.

  Компания-монополист
Дружественная реакция Агрессивная реакция
Компания-аутсайдер Вступление (3;2) (1;-1)
Невступление (5;1) (5;1)

 

Рисунок 4 – Нормальная форма игры, предметом которой является проникновение на рынок

Первое значение в скобках означает прибыль компании-монополиста, второе – прибыль компании-аутсайдера.

Подобное рациональное равновесие характерно для «частично усовершенствованной» игры, которая заведомо исключает абсурдные ходы. Такие равновесные состояния на практике в принципе довольно просто найти. Равновесные конфигурации могут быть выявлены с помощью специального алгоритма из области исследования операций для любой конечной игры. Игрок, принимающий решение, поступает следующим образом: вначале делается выбор «лучшего» хода на последнем этапе игры, затем выбирается «лучший» ход на предшествующем этапе с учетом выбора на последнем этапе и так далее, до тех пор пока не будет достигнут начальный узел дерева игры.

Компаниям полезно в эксплицитном виде обдумывать возможные реакции партнеров по игре. Изолированные хозяйственные расчеты, даже опирающиеся на теорию принятия решений, часто носят, как в изложенной ситуации, ограниченный характер. Так, компания-аутсайдер могла бы и выбрать ход «невступление», если бы предварительный анализ убедил ее в том, что проникновение на рынок вызовет агрессивную реакцию монополиста. В этом случае в соответствии с критерием ожидаемой стоимости разумно выбрать ход «невступление» при вероятности агрессивного ответа 0,5.

Эти знания можно использовать в практике предприятий, чтобы помочь двум фирмам достичь ситуации «выигрыш – выигрыш». Сегодня консультанты с подготовкой в области игр быстро и однозначно выявляют возможности, которыми предприятия могут воспользоваться для заключения стабильных и долгосрочных договоров с клиентами, субпоставщиками, партнерами по разработкам и т.п.

 

 

Практическая часть

 

Задача 1.

Швейное предприятие реализуется свою продукцию через магазин. Сбыт зависит от состояния погоды. В условиях теплой погоды предприятие реализует a костюмов и b платьев, а при прохладной погоде - c костюмов и d платьев. Затраты на изготовление одного костюма равны α0 , а платья – β0 рублям, цена реализации соответственно равна α1 рублей и β1 рублей. Определить оптимальную стратегию предприятия.

a=1000, b=2300, c=1400, d=700,

α0=20, β0=5, α1=40, β1=12.

Составим математическую модель задачи. В связи с возможными состояниями спроса фирма располагает двумя стратегиями.

1. F1 = (1000, 2300) – произвести 1000 костюмов и 2300 платьев,

2. F2 = (1400, 700) – произвести 1400 костюмов и 700 платьев.

Природа (рынок) располагает также двумя стратегиями:

1. D1 = погода теплая,

2. D2 = погода прохладная.

Если фирма примет стратегию F1 и спрос действительно будет находиться в первом состоянии, то есть погода будет теплой (D1), то выпущенная продукция будет полностью реализована и доход составит w11 =1000∙(40-20) + 2300∙(12-5) = 36100.

Если фирма примет стратегию F1, а спрос будет находиться в состоянии D2 (погода прохладная), то платья будут реализованы лишь частично, и доход составит: w12 = 1000∙(40-20) + 700∙(12-5) – (2300-700)∙5= 16900.

Аналогично, если фирма выберет стратегию F2, а природа – стратегию D1 (погода теплая), то доход составит (будут недораспроданы костюмы):

w21 =1000∙(40-20) + 700∙(12-5) – (1400-1000)∙20= 16900, а если природа выберет стратегию D2, то

w22 = 1400∙(40-20) + 700∙(12-5) = 32900.

Рассматривая фирму и природу в качестве двух игроков, получим платежную матрицу игры

,

которая будет служить игровой моделью задачи.

Поскольку максиминная стратегия игры составляет a = max (16900, 16900) = =16900, а минимаксная b = min (36100, 3290) = 32900, то цена игры лежит в диапазоне

16900 ден. ед. < ν < 32900 ден. ед.

Решим данную игру аналитическим методом. Средний выигрыш первого игрока, если он использует оптимальную смешанную стратегию xʹ=(x1ʹ,x2ʹ), а второй игрок – чистую стратегию, соответствующую первому столбцу платежной матрицы, равен цене игры ν:

36100∙x1ʹ+16900∙x2ʹ= ν.

Тот же средний выигрыш получает первый игрок, если второй игрок применяет стратегию, соответствующую второму столбцу платежной матрицы, то есть

16900∙x1ʹ+32900∙x2ʹ=ν.

Учитывая, что x1ʹ+x2ʹ=1, получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии первого игрока и цены игры:

Решаем эту систему и находим:

Оптимальная стратегия фирмы:

Таким образом, фирме оптимально произвести 1218 костюмов и 1427 платьев.

Задача 2.

Количество возможных стратегий Получателя - 5, Плательщика - 4. Величины платежа образуют таблицу.

Требуется найти наиболее выгодную чистую стратегию первого игрока, выбирающего строку (Получателя).

Решение:

1. В каждой строке найдем минимальное значение

2. Из полученных значений возьмем максимальное, то есть вычислим максимин

Найденное значение реализуется при выборе последней (пятой) стратегии А5 Получателя.

Ответ: наиболее выгодной для Получателя (при однократной игре) является стратегия А5, так как при любом выборе Плательщиком его стратегии величина платежа составит а = 3 или больше.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Интрилигатор, М. Математические методы оптимизации и экономическая теория: Учебное пособие/ М. Интрилигатор. – М.: Айрис - пресс, 2002. – 576 с.

2. Баканов, М.И. Теория экономического анализа: Учебное пособие/ М.И. Баканов, М.В. Мельник, А.Д. Шеремет. – 5-е изд., доп. и перераб. – М: Финансы и статистика, 2008. – 536 с.

3. Моргенштерн, О. Теория игр и экономическое поведение / О. Моргенштерн, Дж. фон Нейман. – М.: Книга по Требованию, 2012. – 708 с.

4. Замков, О.О. Математические методы в экономике: Учебное пособие/ О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных; под общ. ред. А.В. Сидоровича. – 3-е изд., перераб. – М.: Издательство «Дело и Сервис», 2001. – 368 с.

5. Васин, А.А. Введение в теорию игр с приложениями к экономике: Учебное пособие/ А.А. Васин, В.В. Морозов. − М.: 2003. − 278 с.

6. Волков, И.К. Исследование операций: Учебник для вузов / И.К. Волков, Е.А. Загоруйко; под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. − М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. – 436 с.

7. Писарук, Н. Н. Введение в теорию игр: Учебное пособие / Н.Н. Писарук. − Минск: БГУ, 2015. – 256 c.

poisk-ru.ru

Теория игр - теоретический материал, все вопросы

  1. Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе.

Теория игр – раздел современной математики, изучающий математические модели принятия решений в т.н. конфликтных ситуациях.

Математическая модель – это математическое описание компонентов и функций, отображающих существенные свойства моделируемого объекта.

Игра – упрощенная, формализованная модель конфликта. Важным отличием игры от реального конфликта является наличие жёстко определённых правил поведения.

Игроки – заинтересованные в конфликте стороны.

Стратегия – любое возможное действие игрока.

Игровая ситуация – результат выбора каждым из игроков своей стратегии.

Выигрыш – то, что обуславливает интерес игроков. (похвала, порицание, приз, штраф).

Три вида игр:

  1. Антагонистические
Страховщик и страхователь

На рынке есть страховщик и страхователь. Эта игра антагонистическая, так как выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.

Взаимодействие этих сторон можно рассматривать, как игру, потому что есть конфликт интересов. У каждого игрока есть свои стратегии. И они нацелены на максимизацию своего выигрыша, либо минимизацию проигрыша.

  1. Игры с природой
Предположим, что инвестор может купить акции одной из 3 компаний. Роль природы исполняет ситуация на фондовом рынке, которая в разные периоды складывается по-разному. Инвестору надлежит принять решение в условиях неопределенности, какой компании отдать предпочтение. На основе этих составляются матрицы выигрышей.
  1. Неантагонистические
На рынке есть две фирмы А и В, производят аналогичные товары. Они выбирают объем производимых товаров Q1 и Q2.

Если Q=0, то P=A

При этом издержки у них одинаковы = C

Цена зависит от Q: P(Q)=A-Q

Чем больше Q, тем меньше P.

Pk=(A-Q-C)*Qk

Задача этой модели, найти равновесные Q1* и Q2*, которые создают ситуацию, которая является равновесием Нэша.

Необходимо найти:

P1(Q1;Q2*) -> max

P2(Q1*;Q2) -> max

  1. Основные понятия и определения антагонистических игр.

Стратегия – любое возможное действие игрока.Множество стратегий – все возможные стратегии игроков

Игровая ситуация – результат выбора каждым из игроков своей стратегии.

Множество игровых ситуаций – все возможные варианты игровых ситуаций. Образует ситуационное пространство игры.

Игра – упрощенная, формализованная модель конфликта. Важным отличием игры от реального конфликта является наличие жёстко определённых правил поведения.

Игроки – заинтересованные в конфликте стороны.

Платежная матрица – матрица, элементами корой являются выигрыши (проигрыши) игрока.

Антагонистическая игра – игра с нулевой суммой, в которой выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.

FA=-FB , где F – функция выигрыша.

Платежная матрица:

Матрица игровых ситуаций:

  1. Взаимосвязь заключается в том, что при игровой ситуации (A1;B1) игроки соответственно достигают выигрышей(проигрышей) (a11;b11)3. Функция выигрыша и матрица выигрышей. Чистые стратегии игроков. Принцип доминирования стратегий. Соотношение между матрицами выигрышей игроков А и В в парной антагонистической игре с нулевой суммой.

Функция выигрыша: , k – игроки, s – ситуации.

Матрица выигрышей:

Чистая стратегия игрока – стратегия, которую выберет игрок с вероятностью = 1.

Доминирование - ситуация, при которой одна из стратегий некоторого игрока дает больший выигрыш, нежели другая, при любых действиях его оппонентов.

Цель принципа доминирования – уменьшить размер матрицы, путем выбрасывания из рассмотрения тех стратегий, которые являются очевидно невыгодными. безымянный4. Максиминный и минимаксный принципы игроков. Показатели эффективности и неэффективности чистых стратегий.Показатель эффективности: минимальный выигрыш игрока А.

Показатель неэффективности: максимальный проигрыш игрока В.

Максиминный принцип: принцип выбора эффективной стратегии, при котором максимизируется показатель эффективности.

При этом выигрыш – максимин, или нижняя цена игры.

Минимаксный принцип: принцип выбора эффективной стратегии, при котором минимизируется показатель неэффективности.

При этом проигрыш - минимакс, или верхняя цена игры.5. Максимин и минимакс игры. Максиминные и минимаксные стратегии. Нижняя и верхняя цена игры в чистых стратегиях. Соотношение между ними.Максиминный принцип: принцип выбора эффективной стратегии, при котором максимизируется показатель эффективности.

При этом выигрыш – максимин, или нижняя цена игры.Минимаксный принцип: принцип выбора эффективной стратегии, при котором минимизируется показатель неэффективности.

При этом проигрыш - минимакс, или верхняя цена игры.Соотношение для α и β

Для элементов матрицы A имеют место неравенства

, , ,

и, следовательно, нижняя цена игры не больше её верхней цены в чистых стратегиях:

.

  1. Критерий решения игры в чистых стратегиях.
Критерий решения игры в чистых стратегиях упирается в критерий существования цены игры в чистых стратегиях.

Свойство: ни одному из игроков А и В, придерживающихся одной из своих оптимальных стратегий невыгодно от нее отклоняться, поскольку в этом случае он не увеличивает свой выигрыш.

Цена игры в чистых стратегиях представляет собой значение выигрыша игрока А, которое он не может увеличить, если игрок В придерживается своей оптимальной стратегии и значение проигрыша игрока В, которое последний не может уменьшить при условии, что игрок А действует по своей оптимальной стратегии.

Теорема: для того, чтобы существовала цена игры в чистых стратегиях, т.е. для того чтобы нижняя цена игры равнялась верхней цене игры , необходимо и достаточно существование у матрицы этой игры седловой точки.

В игре без седловых точек ни у одного из игроков оптимальных стратегий нет. Т.е. задача в чистых стратегияхи меет решение, если сущ. седловая точка.

  1. Доказательство утверждения .
Теорема. Для элементов матрицы имеют неравенства и след-ноб нижняя цена игры не больше ее верхней цены в чистых стратегиях:

Д-во. По определению показателей эффективности стратегий Ai и определению показателей неэффективности стратегий Bj игрока В имеем

, cлед-но доказано

так как доказанное неравенство справедливо для любых i=1,..,m, j=1,..n, то оно будет справедливым в частности для номеров i=i0 и j=j0 соответственно максиминной и минимаксной стратегией Ai0 и Bj0:

Тогда в силу получим требуемое неравенство

  1. Теорема об удовлетворительности игровой ситуации для игрока A.
Т. Ситуация (Ai0, Bjo) будет удовлетворительна для игрока А Тогда и только тогда, когда его выигрыш совпадет с показателем неэффективности стратегии Bjo игрока В: , то есть будет максимальной в j-ом столбце матрицы игры

Д-во: Пусть ситауция (Ai0, Bjo) удовлетворительна для игрока А. Тогда по определению справедливо нер-во .Из этого неравенства и по определению (1) показателя неэффективности стратегии Bj0 следует, что , то есть нер-во доказано. Тогда применяя (1) при j=j0 получим , то есть доказано

  1. Теорема об удовлетворительности игровой ситуации для игрока B
Т. Ситуация (Ai0, Bjo) будет удовлетворительна для игрока В Тогда и только тогда, когда его проигрыш совпадет с показателем эффективности стратегии Aio игрока A: , то есть будет минимален в i-ой строке матрицы игры

Д-во: Если ситауция (Ai0, Bjo) удовлетворительна для игрока В, то из нер-ва и равенства при i=i0 получим и рав-во доказано

Если же это справедливо то по при i=i0 будем иметь то есть доказано неравенство

  1. Равновесие в антагонистической игре.
Ситуация (Ai0, Bjo) называется равновесной , если она удовлетворительна для каждого из игроков А и В то есть если выполняются неравенства и : (1) или равенства и : (2)

Таким образов двойное нер-во (1) и двойное равенство (2) эквивалентны

topuch.ru

Образовательный портал | 1.12. Задачи Теория игр для экономистов

1. Какие стратегии в следующей игре, представленной в нормальной форме, выживают после последовательного исключения строго доминируемых стратегий? Найдите все равновесия по Нэшу. L С R Г / (2Д) (1,1) (4,2) м (3,4) (1,2) (2,3) в V (1,3) (0,2) (3,0) 2. Игроки I и II торгуются по поводу того, как поделить один доллар. Оба игрока одновременно называют доли, которые они бы хотели иметь, 5*1 и , где 0 1, то оба игрока ничего не получают. Каковы равновесия по Нэшу в этой игре? Рассмотрим модель олигополии по Курно с п фирмами. Пусть qi - объем произведенной продукции фирмой i и пусть Q = qi + Х Х Х + qn - общий объем продукции на рынке. Предположим, что функция обратного спроса имеет вид P(Q) = а - Q (для Q Рассмотрим следующий конечный вариант модели дуополии по Курно. Допустим, что каждая из фирм должна выбрать, производить ли половину монопольного объема продукции, qmj2 = (а Чс)/4, либо равновесный по Курно объем, qc = (а - с)/3 . Другие объемы производства в такой модели невозможны. Показать, что эта игра с двумя ходами эквивалентна Дилемме Заключенного: каждая фирма имеет строго доминируемую стратегию, и в равновесии обе фирмы оказываются в менее выгодном положении, нежели в ситуации, когда бы они выбрали сотрудничество (кооперацию). Рассмотрим модель дуополии по Курно с функцией обратного спроса P(Q) = а - Q . Будем считать, что фирмы имеют асимметричные предельные затраты: с\ для 1-й фирмы и с2 Н-й фирмы. Что будет являться равновесием по Нэшу, если 0 а + с\ ? Рассмотрим совокупность избирателей, равномерно распределенных вдоль лидеологического спектра слева (ж = 0) направо (х = 1) . Одновременно каждый из кандидатов на одну должность (пост) выбирает платформу компании (т.е. точку на линии между х = 0 и х = 1). Избиратели наблюдают выборы кандидатов и затем каждый избиратель голосует за того кандидата, чья платформа является ближайшей к позиции избирателя на спектре. Если имеется два избирателя и они выбрали, например, платформы х\ = 0,3 и х2 = 0,6, то все избиратели, расположенные левее х = 0, 45 , голосуют за кандидата 1, а все избиратели правее этой точки голосуют за кандидата 2, и кандидат 2 выигрывает выборы с 55 процентами голосов. Предположим, что кандидаты хотят только быть выбранными - в действительности они не интересуются платформами совсем! Если имеется два кандидата, то каково равновесие по Нэшу в чистых стратегиях? Если имеется три кандидата, то каково равновесие по Нэшу в чистых стратегиях? Считаем, что любые кандидаты, которые выбрали одну и ту же платформу, поровну делят голоса, отданные за эту платформу, и что ничьи среди лидирующих кандидатов разрешаются с помощью подбрасывания монеты. 7. Показать, что в Дилемме Заключенного и в играх на рис. 47 и 48 нет равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях. и d Т м в R (5,3) (5,3) (6,6) L (0,4) (4,0) (3,5) R (ОД) (2,0) м (1.2) (0,1) L (1.0) (0,3) С (4,0) (0,4) (3,5) Рис. 48. Рис. 47. Найти равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях для следующей игры, представленной в нормальной форме: L R Т / (2,1) (0,2) В \ (1,2) (3,0) В каждой из двух фирм имеется по одной вакансии. Допустим, что фирмы предлагают различные зарплаты: фирма i предлагает зарплату Wj , причем и другой работник остается безработным (имеет нулевой выигрыш). Найдите равновесие по Нэшу в игре работников, представленной в нормальной форме. Обратиться Обратиться в фирму 1 в фирму 2 Обратиться в фирму 1 Обратиться в фирму 2 8. Показать, что для равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях верно следующее утверждение: стратегии, сыгранные с положительной вероятностью в равновесии по Нэшу в смешанных стратегиях выживают в процессе последовательного исключения строго доминируемых стратегий. Аукцион первой цены. Оценки игроков объекта аукциона упорядочены: v\ > > Х Х Х > vn > 0 . Участники одновременно делают заявки, назначая цену, которую они готовы заплатить за объект. Выигрывает назначивший наибольшую цену, которую он и платит (в случае, если несколько участников называют одну наивысшую цену, объект получает тот из участников, у которого наименьшая оценка). Найдите равновесие по Нэшу. Армия А обладает единственным самолетом, который она может направить для атаки одной из трех целей. У армии В есть единственное зенитное орудие, которое она может установить для защиты одной из целей. Ценность цели к есть Vk , так что v\ > v2 > > 0 . Армия А разрушает цель только, если она атакует незащищен-ную цель. Армия А стремится максимизировать ожидаемый ущерб от нападения, а В стремится его минимизировать. Найдите равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях соответствующей игры.
  1. К ТОМУ, КТО ЧИТАЕТзадача публицистов. И в этом случае не пострадает ни одна из рассматриваемых сфер, так как каждому становится очевидным, насколько добродетель чисто общественная должна уступать божественной добродетели, не подверженной никаким изменениям. И кто бы, повторяю, ни захотел удостоить меня своей критикой, не должен исходить из предпосылки, что мои принципы губительны для нравственности или религии,
  2. VI СОРАЗМЕРНОСТЬ МЕЖДУ ПРЕСТУПЛЕНИЯМИ И НАКАЗАНИЯМИзадача которого заключается в том, чтобы свести на нег разрушительные последствия силк тяжести 84 и направить ее на упрочение несущих конструкции здания. Поскольку доказана необходимость объединения людей и существования общественного договора, неизбежно вытекающего из потребности в умиротворении противоположных частных интересов, то нарушения установленного порядка можно классифицировать и по
  3. VIII КЛАССИФИКАЦИЯ ПРЕСТУПЛЕНИЙзадачей любой законно созданной ассоциации, то нарушение неотъемлемого права каждого гражданина на безопасность не может не повлечь за собой одного из самых суровых наказаний, установленных законом. Постулат, согласно которому каждый гражданин должен быть наделен правом совершать любые, не противоречащие закону действия, не опасаясь какихлибо последствий, за исключением тех, что могут быть
  4. ХУ1. 0 ПЫТКЕзадача еще более усложняется, когда страдания искажают весь его внешний облик, по которому иногда можно догадаться об истинном положении дел, даже помимо воли человека. Всякое насильственное действие спутывает и заставляет исчезнуть мельчайшие индивидуальные признаки предметов, с помощь которых иной раз правда отличается ото лжи. Эти истины известны еще со времен древнеримских законодателей,
  5. ХХ1. НАКАЗАНИЯ ДЛЯ ДВОРЯНзадачу которого входит удерживать в границах дозволенного чрезмерные пре143 тензии крайностей, или оно представляет собой просто сословие, которое, будучи рабом самого себя и других, сосредоточивает в своем узком замкнутом кругу влияние, жизненные блага и надежды, подобно цветущему и плодородному оазису в песках Аравийской пустыни. И если верно даже, что неравенство является неизбежным или
  6. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ СЛОВА ПРЕДИСЛОВИЯ ФАУСТЕН-ЭЛИ О ЗНАЧЕНИИ КНИГИ БЕККАРИАзадачи в законы. А может быть, он не имел бы и той смелости в своих выводах, которую мы в нем замечаем. Светлый его разум и горячая любовь к правде - вот силы, поддержавшие его среди малоизвестного ему пути. И этих сил было достаточно, чтобы побороть древние законодательства, уже склонявшиеся под тяжестью своих злоупотреблений, и показать ученым исследователям уголовного права все их ничтожество.
  7. 1.2. ОСНОВНЫЕ ЦЕЛИ И ФУНКЦИИ ПРЕДПРИЯТИЯ В УСЛОВИЯХ РЫНКАзадачи, а получение прибыли находится далеко не на первом месте. Руководители многих предприятий считают, что для них основной задачей на этом этапе являются реализация продукции, возможность выплаты заработной платы работникам предприятия и быть лна плаву. Остается надеяться, что этот тяжелый период для российской экономики скоро пройдет, предприятия начнут нормально работать, решать задачи и
  8. Контрольные вопросызадачи предприятий, работающих вусловиях плановой экономики и рынка ? Какие факторы влияют на эффективность работы предприятий в условиях рынка
  9. 2.1, НЕОБХОДИМОСТЬ ГОСУДАРСТВЕННОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ СТРАНЫзадачи должно сыграть государство. Разработка, принятие и организация выполнения хозяйственного законодательства, т. е. правовой основы предпринимательства, налогообложения, банковской системы и т. д. Для выполнения этих и других функций государство должно использовать все имеющиеся в его распоряжении рычаги и
  10. 2.2. УСЛОВИЯ И ПРЕДПОСЫЛКИ ГОСУДАРСТВЕННОГО ВМЕШАТЕЛЬСТВАзадача государства заключается в том, чтобы не превысить заранее определенной и допустимой величины этого критерия. Если образовался большой профицит, то это тоже не совсем нормальное явление. Необходимо разобраться, почему он образовался, и не допускать впредь таких

geum.ru


Смотрите также