Теория игр для экономистов. Вводный курс Печерский С. Л., Беляева А. А. Теория игр для экономистов печерский


Must Read. Теория игр

Александрийская библиотека

Must Read. Теория игр

4 августа в лектории «Александрийская библиотека» прошла лекция кандидата физико-математических наук Сергея Доценко о теории игр Джона Нэша. Теория игр сыграла важную роль в появлении современной экономической теории, но интерес к ней питают не только экономисты. 

Сегодня теория игр — ключевой инструмент анализа самых разных задач в политике, бизнесе, социальных науках, военном деле и даже биологии! С чего начать изучение теории игр? Конечно, с увлекательных книг! Предлагаем вам подборку от Сергея Доценко.

А. Диксит, Б. Нейлбафф «Теория игр. Искусство стратегического мышления в бизнесе и жизни»

Книга наглядно показывает, что почти все люди и компании вовлечены во взаимодействия, которые можно описать с помощью теории игр. На примерах из истории, политики, спорта и кино авторы демонстрируют, как изучение теории игр может сформировать новый взгляд на вещи, а также помочь стать более успешным в жизни и в бизнесе.

А. В. Захаров «Теория игр в общественных науках» (учебник Высшей школы экономики)

Академический учебник по теории игр, который, однако, будет доступен учащимся разных специальностей: технических, гуманитарных и управленческих. На примерах из экономики и политики в книге разбираются разные виды статических и динамических игр, в том числе такие известные, как равновесие Нэша и теорема Эрроу о диктаторе. Подойдёт всем, кто владеет основами математического анализа и теории вероятностей на уровне первого курса.

С. Л. Печерский, А. О. Беляева «Теория игр для экономистов»

Краткое и доступное учебное пособие, которое излагает основы современной теории игр. Подойдёт для широкой аудитории и всех, кто интересуется вопросами математических моделей в экономике.

Л. А. Петросян, Н. А. Зенкевич, Е. В. Шевкопляс «Теория игр»

Настоящее методическое пособие, которое включает последовательное изложение единой теории статических и динамических игр, а также целый ряд задач и упражнений разной сложности для закрепления материала на практике. В книге рассматриваются все основные классы игр: конечные и бесконечные антагонистические игры, бескоалиционные и кооперативные, а также многошаговые и дифференциальные игры.

П. В. Конюховский, А. С. Малова «Теория игр»

Книга не просто излагает основы теории игр, но и рассматривает разные подходы к определению её предмета и задач. Подробно описаны основные направления использования современной теории игр в прикладных и теоретических научных исследованиях. В конце авторы добавили литературное приложение, где описаны ключевые сюжеты, которые часто ложатся в основу построения примеров игр.

www.brain-games.ru

Печерский С.Л. Теория игр для экономистов

(±¬., ­ ¯°¨¬¥°, ®°®¡¼¥¢ (1984, 1985), Aumann (1989), Dixit/Nalebu (1991), Fudenberg/Tirole (1992), Myerson (1991), Rasmussen (1989) ¨ ¬­®£¨¥ ¤°³£¨¥) ³¯®¬¿­¥¬ «¨¸¼ ·¥²»°¥. ¥°¢»¥ ¤¢ | ½²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ²¥®°¨¨ ¨£°, ª®²®°»¥ ± ­¥ª®²®°»¬¨ ¢ °¨ - ¶¨¿¬¨, ¯®-¢¨¤¨¬®¬³,­ ¨¡®«¥¥ · ±²® ¢±²°¥· ¾²±¿ ¢ «¨²¥° ²³°¥ ¨ ¤®±² ²®·­® ²®·­® µ ° ª²¥°¨§³¾² ®¡¹³¾ ¯°®¡«¥¬ ²¨ª³, ®µ¢ ²»¢ ¥¬³¾ ²¥®°¨¥© ¨£°: " ¥®°¨¿ ¨£° | ½²® ²¥®°¨¿ ° ¶¨®­ «¼­®£® ¯®¢¥¤¥­¨¿ «¾¤¥© ± ­¥±®¢¯ ¤ ¾¹¨¬¨ ¨­²¥°¥± ¬¨" (Aumann, 1989), ¨ " ¥®°¨¿ ¨£° | ­ ³ª ® ±²° ²¥£¨·¥±ª®¬ ¬»¸«¥­¨¨" (Dixit/Nalebu , 1991). °¥²¼¥ ¯®¤·¥°ª¨¢ ¥² ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª³¾ ¯°¨°®¤³ ²¥®°¨¨ ¨£°: " ¥®°¨¿ ¨£° | ½²® ²¥®°¨¿ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ¬®¤¥«¥© ¯°¨­¿²¨¿ ®¯²¨¬ «¼­»µ °¥¸¥­¨© ¢ ³±«®¢¨¿µ ª®­- ´«¨ª²®¢" ( ®°®¡¼¥¢, 1984). ª®­¥¶, ·¥²¢¥°²®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¢»¤¥«¿¥² °®«¼ ²¥®°¨¨ ¨£° ¨¬¥­­® ¢ ½ª®­®¬¨·¥±ª®¬ ¬®¤¥«¨°®¢ ­¨¨: " ³²¼ ²¥®°¨¨ ¨£° ¢ ²®¬, ·²®¡» ¯®¬®·¼ ½ª®­®¬¨±² ¬ ¯®­¨¬ ²¼ ¨ ¯°¥¤±ª §»¢ ²¼ ²®, ·²® ¡³¤¥² ¯°®¨±µ®¤¨²¼ ¢ ½ª®­®¬¨·¥±ª®¬ ª®­²¥ª±²¥" (Kreps, 1990). ­ ±²®¿¹¨© ¬®¬¥­², ¥±«¨ £®¢®°¨²¼ ®¡ ½ª®­®¬¨·¥±ª®¬ ª®­²¥ª±²¥, °¥·¼ ¨¤¥² ³¦¥ ­¥ ²®«¼ª® ® ¯°¨¬¥­¥­¨¨²¥®°¥²¨ª®-¨£°®¢»µ¬¥²®¤®¢ ª ±² ¢¸¨¬ ¤®±² ²®·­® ²° ¤¨¶¨®­­»¬¨ ¯°®¡«¥¬ ¬ ®°£ ­¨§ ¶¨¨ ¯°®¬»¸«¥­­®±²¨, ­® ¨, ¯® ±³²¨ ¤¥« , ª® ¢±¥¬³ ¬­®£®®¡° §¨¾ ½ª®­®¬¨·¥±ª®© ¯°®¡«¥¬ ²¨ª¨. ª ­ ¯°¨- ¬¥°, ­ ¬¨ª°®³°®¢­¥ | ½²® ¬®¤¥«¨ ¯°®¶¥±± ²®°£®¢«¨ (¬®¤¥«¨ ²®°£ , ¬®¤¥«¨ ³ª¶¨- ®­®¢). ¯°®¬¥¦³²®·­®¬ ³°®¢­¥ £°¥£ ¶¨¨ ¨§³· ¾²±¿²¥®°¥²¨ª®-¨£°®¢»¥¬®¤¥«¨ ¯®¢¥¤¥­¨¿ ´¨°¬ ­ °»­ª µ ´ ª²®°®¢ ¯°®¨§¢®¤±²¢ ( ­¥ ²®«¼ª® ­ °»­ª¥ £®²®- ¢®© ¯°®¤³ª¶¨¨, ª ª ¢ ®«¨£®¯®«¨¨).¥®°¥²¨ª®-¨£°®¢»¥¬®¤¥«¨ ¢®§­¨ª ¾² ¢ ±¢¿§¨ ± ° §«¨·­»¬¨ ¯°®¡«¥¬ ¬¨ ¢­³²°¨ ´¨°¬». ª®­¥¶, ­ ¢»±®ª®¬ ³°®¢­¥ £°¥£ ¶¨¨, ± ¬¥¦¤³­ °®¤­®© ½ª®­®¬¨ª®© ±¢¿§ ­» ¬®¤¥«¨ ª®­ª³°¥­¶¨¨ ±²° ­ ¯® ¯®¢®¤³ ² °¨´®¢ ¨ ²®°£®¢®© ¯®«¨²¨ª¨, ¬ ª°®½ª®­®¬¨ª ¢ª«¾· ¥² ¬®¤¥«¨, ¢ ª®²®°»µ, ¢ · ±²­®±²¨, ±²° ²¥£¨·¥±ª®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©±²¢¨¥ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥²±¿ ¢ ª®­²¥ª±²¥ ¬®­¥² °­®© ¯®«¨²¨ª¨. " ¯¯ ° ² ²¥®°¨¨ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¨ ²¥®°¨¨ ¨£° ¯®±«³¦¨« ®±­®¢®© ¤«¿ ±®§¤ ­¨¿ ±®¢°¥- ¬¥­­»µ ²¥®°¨© ¬¥¦¤³­ °®¤­®© ²®°£®¢«¨, ­ «®£®®¡«®¦¥­¨¿, ¨ ®¡¹¥±²¢¥­­»µ ¡« £, ¬®­¥² °­®© ½ª®­®¬¨ª¨, ²¥®°¨¨ ¯°®¨§¢®¤±²¢¥­­»µ ®°£ ­¨§ ¶¨©" ( ®«²¥°®¢¨·, 1997,

±.11).

§³¬¥¥²±¿, ±«¥¤³¥² ¨¬¥²¼ ¢¢¨¤³, ·²® ¢ ­ ±²®¿¹¨© ¬®¬¥­² ®¡« ±²¼ ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ²¥®°¨¨ ¨£° £®° §¤® ¸¨°¥, ­¥¦¥«¨ ²®«¼ª® ½ª®­®¬¨·¥±ª¨© ª®­²¥ª±² (ª®²®°»© ¤«¿ ­ ± ¯°¥¤±² ¢«¿¥², ¥±²¥±²¢¥­­®, ®±®¡»© ¨­²¥°¥±). ²® ¨ ¯®«¨²¨·¥±ª¨© ¨ ±®¶¨ «¼- ­»© ª®­²¥ª±²», ½²® ¨ ¡¨®«®£¨¿, ¨ ¢®¥­­®¥ ¤¥«®, ¨ ¬­®£®¥ ¤°³£®¥ (±¬., ­ ¯°¨¬¥°,¾¡¨­/ ³§¤ «¼ (1981), Shubik (1984), Moulin (1983, 1986), Ordeshook (1986), Rawls

studfiles.net

Теория игр для экономистов. Вводный курс Печерский С. Л., Беляева А. А - Документ

Рис. 28.

Здесь приведена матрица выигрышей 1-го игрока. Как выбирает максиминную стратегию 1-ый игрок? Он может рассуждать следующим образом: "Если я выберу свою стратегию L1 , то сколько я смогу получить?" Поскольку его противник выбирает свою стратегию так, чтобы навредить игроку 1 насколько возможно, то он в ответ на L1 ответит своей стратегией С2 - В этом случае игрок 2 проиграет лишь 1. Аналогично, если игрок 1 задумает сыграть С1, в ответ игрок 2 ответит С2 , тогда 1-ый игрок сможет выиграть лишь 2. Если же игрок 1 задумает сыграть R1 , то противник накажет его, сыграв L2 . В этом случае 1 игрок проиграет 3, а следовательно, 2-ой игрок выиграет 3. Очевидно, что для игрока 1, наилучшим будет выбор такой стратегии, которая даст ему максимальный выигрыш из тех минимальных, которые позволит ему выиграть игрок 2, т. е. стратегии С1.

Аналогичные рассуждения применимы и для игрока 2 при выборе им своей максиминной стратегии.

Покажем, что если в антагонистической игре Г существует равновесие по Нэшу, то пара стратегий будет являться равновесной тогда и только тогда, когда стратегия каждого игрока — максиминная. Этот в некотором смысле удивительный результат обеспечивает связь между индивидуальным принятием решения и рассуждением, объясняющим причину введения такого понятия как равновесия по Нэшу. Мы докажем заодно, что все равновесные ситуации в антагонистических играх приводят к одним и тем же выигрышам. Это свойство редко выполняется в неантагонистических играх.

Определение 1.13.3 Пусть Г  антагонистическая игра. Стратегия s*1S1является максиминной для игрока 1, если

Стратегия s*2S2 является максиминной для игрока 2, если

Т. е. максиминная стратегия для игрока i является стратегией, обеспечивающей ему максимальный гарантированный выигрыш. Следовательно, максиминная стратегия игрока 1 решает задачу:

Аналогично максиминная стратегия 2-го игрока решает задачу:

Следующая очевидная лемма показывает, что нахождение максимального среди минимальных выигрышей игрока 2 эквивалентно нахождению минимума среди максимальных выигрышей игрока 1.

Лемма 1.13.1 Пусть Г = {{1,2}, {Si}, {ui}} — антагонистическая игра, тогда

Доказательство этой леммы немедленно следует из следующих очевидных свойств:

1) ;

2)

Из этого результата следует, что стратегия s2S2 является решением задачи нахождения , тогда и только тогда, когда эта стратегия s2 является решением задачи . Поэтому при поиске такой стратегии можно воспользоваться той же матрицей выигрышей игрока 1 следующим образом: сначала в каждом столбце найти максимальный элемент, затем из всех максимальных элементов выбрать минимальный. Полученное значение является "наименьшим гарантированным проигрышем" игрока 2. Это означает, что если игрок 2 будет придерживаться стратегий, соответствующих этому минимаксному значению, то при любом поведении противника он проиграет не больше этого значения.

Следующий результат устанавливает связь между равновесием по Нэшу в антагонистической игре и множеством пар максиминных стратегий.

Предложение 1.13.1 Пусть Г — антагонистическая игра.

a. Если (s*1, s*2) —равновесие по Нэшу в Г, тогда s*1  является максиминной стратегией игрока 1, a s*  является максиминной стратегией игрока 2.

b. Если (s*1, s*2) —равновесие по Нэшу в игре Г, тогда

и таким образом все равновесия по Нэшу в игре Г дают одни и те же выигрыши.

c. Если

,

s*1— является максиминной стратегией игрока 1, s*2 — является максиминной стратегией игрока 2, тогда (s*1, s*2) является равновесием по Нэшу игры Г.

Доказательство.

а,b. Пусть s*1, s*2)  равновесие по Нэшу, тогда

Или (т.к. u2 = u1)

Следовательно,

(8.1)

С другой стороны,

Следовательно,

поэтому

(8.2)

Таким образом, из (1) и (2) следует, что u^s^s^) = maxsi minS2 Ui(si, s2) и является максиминной стратегией игрока 1. Аналогично можно показать, что является максиминной стратегией игрока 2.

Из леммы

следует, что maxS2 minsi u2(si,s2) = —v*. Поскольку Sj — максиминная стратегия 1-ого игрока, то Ui(sj,s2) > v* для всех s2 Е 82 - Аналогично, s^ — максиминная стратегия 2-ого игрока, поэтому

Положим в этих неравенствах s2 = s% и Si = Sj , тогда Ui^j,^) > и* и u2(sj,S2) > —и*. Но так как и\ = — и2, то u^Sj,^) v*. Получим Ui(sj,s2) > u2(sj,S2) или, подставляя ui = —u2 имеем, u2(sj,S2) > ^2(5i,s2). А из второго неравенства ^(si,^) ^ ~ui(si?s2) или Ui(sj,S2) > «1(51,52) . Значит пара (sj,^^) является равновесием по Нэшу.

Заметим также, что из свойств (а), (с) следует, что равновесные стратегии являются взаимозаменяемыми в том смысле, что если (si, s2) и (s'j, s2) образуют равновесия, то и (si,s2) , (sj,s2) — также образуют равновесия по Нэшу.

Свойство (b) показывает, что

для всех антагонистических игр, в которых существует равновесие по Нэшу.

В более общем случае, когда равновесия по Нэшу в чистых стратегиях нет, выполняется более общее свойство:

Действительно, т. к. для любого s\ имеем

поэтому

Наличие равновесной ситуации предполагает выполнение противоположного неравенства. В примере "Орел или Решка" мы видим, что

Значит в этой игре равновесия по Нэшу в чистых стратегиях не имеет, а вот во втором примере мы получаем, что

когда игрок 1 играет С\ , а игрок 2 играет С2 - Ситуация (С\,Съ) здесь является равновесной по Нэшу.

Если оказывается, что в антагонистической игре Г

то говорят, что этот равновесный выигрыш 1-ого игрока является значением игры. И как следует из доказательства предложения, если v* является значением антагонистической игры, то это значит, что любая равновесная стратегия игрока 1 гарантирует ему выигрыш по крайней мере не меньше его равновесного выигрыша v* , a любая равновесная стратегия игрока 2 гарантирует ему не меньше его равновесного выигрыша — v* .

Поэтому любая такая стратегия игрока 2 гарантирует, что игрок 1 получит выигрыш не больше его равновесного. В неантагонистических играх равновесные стратегии игроков такими свойствами уже не обладают.

1.14 Дополнение. Решение биматричных игр 2x2

В этом параграфе мы подробно остановимся на анализе решений биматричных игр, в которых у каждого из игроков есть только две стратегии. Разумеется, эти игры представляют собой частный случай рассмотренных ранее игр, но здесь появляется возможность дать наглядную графическую интерпретацию поиска равновесных ситуаций в игре. (Наше изложение здесь следует книге Воробьева (1985).) Рассмотрим биматричную игру 2x2 с матрицей

или, как мы уже отмечали, игру, выигрыши в которой можно задать с помощью двух матриц:

первая из которых описывает выигрыши игрока 1, а вторая — выигрыши второго.

Очевидно, что смешанные стратегии игроков в случае игр 2x2 полностью описываются вероятностями р и q выбора игроками своих первых чистых стратегий. (Вторые чистые стратегии выбираются, соответственно, с вероятностями 1 — р и 1 — q .) Поэтому, поскольку 0 р , q

Напомним, что пара смешанных стратегий *1 = (р*, 1  р*) и

*2 = (q*, 1  q*) является равновесием по Нэшу, если смешанная стратегия *i одного игрока является лучшим ответом на смешанную стратегию *j другого игрока, т. е. выполняются следующие неравенства:

Рассмотрим уже знакомый нам пример "Орел или Решка". Пусть игрок 1 считает, что игрок 2 будет выбирать "Орла" с вероятностью q и "Решку" с вероятностью 1  q. Ожидаемый выигрыш игрока 1 от разыгрывания "Орла" будет (1)q + 1•(1  q) = 1  2q , а от разыгрывания "Решки" 1•q + ( 1)•1  q) = 2q  1. Если 1  2q > 2q  1 , т. е. q 1/2, то лучшей чистой стратегией игрока 1 будет Орел, а если q > 1/2, то Решка, и игроку 1 будет все равно, что разыгрывать, если q = 1/2 . Рассмотрим возможные смешанные стратегии игрока 1 . Пусть (р, 1 — р) обозначает смешанную стратегию, в которой игрок 1 разыгрывает "Орла" с вероятностью р. Для каждого значения q мы можем вычислить значения р = p*(q), такие что, (р, 1  р) будет являться лучшим ответом игрока 1 на (q, 1  q) игрока 2.

Ожидаемый выигрыш игрока 1 от разыгрывания (р, 1  р) , когда игрок 2 разыгрывает (q, 1  q) будет

Ожидаемый выигрыш игрока 1 повышается (в зависимости от р), если 2  4q > 0 и уменьшается, если 2  4q

но р = 0 (т.е. Решка), если q > 1/2, Этим значениям р соответствуют два горизонтальных отрезка на рис. 29.

рис. 29.

Так как при q = 1/2 ожидаемый выигрыш игрока 1 не зависит от его стратегии, мы получаем, что игроку 1 безразлично, выбрать ли одну из своих чистых стратегий, или же выбрать какую-нибудь смешанную стратегию (р, 1  р) . Это означает, что если q = 1/2 , то смешанная стратегия (р, 1  р) является лучшим ответом на смешанную стратегию (q, 1  q) при любом значении р от 0 до 1 . Поэтому p*(1/2) представляет собой вертикальный отрезок, изображенный на рис.29. Таким образом, ломаная линия на рис. 29 представляет собой многозначное отображение (поскольку при q = 1/2 мы имеем целый отрезок) лучших ответов (в зависимости от q).

рис. 30.

Похожими рассуждениями и в силу симметрии матрицы выигрышей игрока 2 получаем аналогичное отображение лучших ответов игрока 2 . На рис. 30 это ломаная q*(р). Рис. 30 показывает, что равновесие по Нэшу в игре "Орел или Решка" возникает, если игрок 1 разыгрывает смешанную стратегию (1/2, 1/2) и игрок 2 разыгрывает такую же стратегию, что, по-видимому, было естественно ожидать в силу симметричности игры. Важно заметить, что этот пример иллюстрирует, что неслучайно, если один из игроков выбирает свои стратегии равновероятно (т. е. придерживается своей равновесной стратегии), то второму игроку при этом абсолютно безразлично как играть. Это следует из свойства, доказанного ранее (см. п.1.7) в общем случае:

(1)

которые входят в равновесную ситуацию с ненулевыми вероятностями. Для тех же s'i, которые входят в равновесную ситуацию с нулевой вероятностью верны неравенства:

(2)

Формулы (1), (2) дают действенный способ определения равновесных ситуаций в произвольных биматричных играх 2x2.

Ожидаемый выигрыш игрока 1 от разыгрывания 1 = (р, 1  р), когда игрок 2 разыгрывает 2 = (q, 1  q):

Введем обозначения: С = а11  а12  a21 + a22,  = a22  a12. Лучший ответ игрока 1 на произвольную стратегию 2 игрока 2 можно получить из условий неотрицательности:

С учетом введенных обозначений они выглядят следующим образом:

(3)

Аналогично можно поступить для нахождения лучшего ответа игрока 2 . Ожидаемый выигрыш игрока 2 от игры 2 = (q, 1  q), когда игрок 1 играет 1 = (р, 1  р) :

Из условий (неотрицательности)

обозначив D = b11  b 12  b 21 + b22,  = b22  b21 , получаем аналогичные неравенства для нахождения лучшего ответа игрока 2 на произвольную стратегию а = (р, 1  р) игрока 1:

(4)

Тогда, для того чтобы пара 1 = (р, 1  р), 2 = (q, 1  q) определяла равновесную ситуацию необходимо и достаточно одновременное выполнение систем неравенств (3), (4), а также 0  р  1, 0  q  1 .

Рассмотрим лучшие ответы каждого игрока, которые, разумеется, зависят от того, как устроены матрицы выигрышей игрока 1 и игрока 2 . Начнем с неравенств (3).

Возможны три случая:

1) р=1, Cq  ;

2) 0

3)р = 0, Сq  .

В свою очередь, в зависимости от соотношений между С и , возможны следующие случаи и соответствующие лучшие ответы игрока 1 в каждом из них.

I. Если С > 0,  > 0 , то лучшие ответы изображены на рис. 31-33:

рис. 31.

рис. 32.

/С

рис. 33.

II. Если С

/С > 1

рис. 34.

/С = 1

рис. 35.

/С

рис. 36.

III. При С > 0,  0, то этому случаю соответствует рис. 38:

рис. 37.

рис. 38.

IV. Если C0,  = 0, то лучшие ответы игрока 1 , имеющие вид зигзагов, проходят по смежным сторонам квадрата — рис. 39 и 40.

рис. 39.

рис. 40.

V. Если C = 0,   0, то в этом случае зигзаги вырождаются в прямые на рис. 41 и 42. При решении неравенств (3) возможен либо случай 3) , когда  > 0 , либо случай 1), когда 

рис. 41.

рис. 42.

VI. Наконец, если (7 = 0, а = О, то любая точка квадрата является решением системы — рис. 43.

рис. 43.

Анализируя рисунки 31-42, можно отметить, что качественно различных реше­ний могут быть три вида: горизонтальный отрезок вдоль одной из сторон квадрата, любые две смежные стороны квадрата, "возрастающий" (рис. 33) и "убывающий" (рис. 36) зигзаги.

При решении неравенств (4) также возможны три случая:

1) g = l, Dp>(3;

2) 0

3) g = 0, DP

Аналогично, лучшие ответы игрока 2 в зависимости от соотношений между D и (3 выглядят следующим образом:

I. Для D > О, (3 > О , лучшие ответы игрока 2 изображены на рис. 44-46:

рис. 44.

рис. 45.

II. Если D

рис. 46.

рис. 47.

рис. 48.

рис. 49.

III. Если D > 0, (3 0 — то рис. 51.

рис. 50.

рис. 51.

IV. Если D ф 0, (3 = 0 , то лучшие ответы игрока 2 проходят по смежным сторонам квадрата — рис. 52 и 53:

рис. 52.

рис. 53.

V. При D = О, (3 ф О зигзаги вырождаются в прямые на рис. 24,25 . При решении неравенств (4) возможен случай 3) когда (3 > О , либо 1), когда (3

рис. 54.

рис. 55.

VI. Если D = О, (3 = 0, то мы получаем любую точку квадрата — рис. 56.

Исключая тривиальный VI случай, убеждаемся, что и для игрока 2 возможны три различных вида лучших ответов: вертикальный отрезок вдоль одной из сторон квадрата, любые две смежные стороны квадрата, "возрастающий" (рис.46) и "убывающий" (рис. 49) зигзаги.

рис. 56.

Равновесным ситуациям графически соответствуют точки пересечений множеств лучших ответов игроков. Совмещая графики лучших ответов игрока 1 (рис. 31-43) с любым графиком наилучших ответов игрока 2 (рис. 34-56), мы получаем всевозможные варианты множеств равновесных ситуаций биматричной игры 2x2.

Рассмотрим геометрический смысл условий (3) и (4) на примере описанной выше игры "Дилемма Заключенного". Напомним, что ситуация, сложившаяся в этой игре, задается матрицей

Имеем С = -1 - (-10) - 0 + (-6) = 3,  = -6 - (-10) =4, D = -1 - 0 -(-10) + (-6) = 3, (3 = -6 = (-10) = 4

Тогда условия (3), (4) выглядят следующим образом:

Отсюда получаем, что при р = 1, q  4/3, при 0

рис. 57.

Как видно из сказанного выше, такой рисунок можно получить совмещением рис. 31 и рис. 44, где пунктиром отмечены участки зигзагов, не принадлежащих единичному квадрату. Из рисунка видно, что существует единственная ситуация равновесия р = 0, q = 0. Это ситуация, в которой каждый из игроков выбирает вторую чистую стратегию — Сознаться.

Из анализа всевозможных ситуаций видно, что биматричная игра всегда имеет, по меньшей мере, одну точку равновесия по Нэшу, что является наглядной иллюстрацией теоремы Нэша о существовании равновесия.

Отметим при этом несколько качественных особенностей, существующих равновесий.

1) Единственное равновесие по Нэшу в чистых стратегиях — например, рис. 37 и рис.44 дают равновесную точку р = 1, q = 0. "Дилемма Заключенного" относится к такому случаю (здесь р = 1 , q = 1).

рис. 58.

2) Единственное равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях, например, рис. 36 и рис. 46 когда накладывается "убывающий" зигзаг на "возрастающий" зигзаг. Игра "Орел" или "Решка" является примером такого случая.

3) Три равновесия по Нэшу — два в чистых стратегиях и одно — в смешанных. Такая ситуация образуется, когда накладываются два "возрастающих" или два "убывающих зигзага", например, рис. 33 и рис. 46. Такого типа ситуация возникает в игре "Семейный спор" (см. рис.59).

рис. 59.

4) Два равновесия по Нэшу в чистых стратегиях. Его можно получить, например, наложением рис. 9 и рис. 22 . Такая ситуация возникает, в частности, когда в матрице А выигрышей игрока 1 a12 = а22 , а в матрице В выигрышей игрока 2 bl2 = b22. См. рис. 60.

рис. 60.

5) Континуум равновесий по Нэшу в (смешанных стратегиях). Примеров такого рода равновесий можно предложить очень много. Скажем, совмещение рис. 36 и рис.53 дает множество равновесных точек, где р = 0, q[0, 1] и Р = 1, q = 0 и т.п. См. рис. 61.

рис. 61.

Замечание 1.14.1. Следует отметить интересное свойство, присущее некоторым типам равновесий. А именно, в случаях 1), 2), 3), когда равновесных ситуаций в игре нечетное число, при достаточно малых изменениях элементов матриц выигрышей зигзаги также слегка "пошевелятся", но их общая форма и характер их взаимного расположения не изменятся, а значит, не изменится и число равновесных ситуаций.

Этого нельзя сказать о случаях четного и бесконечного числа равновесных ситуаций. В этих случаях малейшее изменение элементов матриц выигрышей может приводить к совершенно иным качественным ситуациям. Например, ситуация изображенная на рис. 60 может перейти в ситуацию либо с одним чистым равновесием, если  = 0,  0,  > О (a22 0,  = 0 (см. рис. 64)

рис. 62.

рис. 63.

рис. 64.

Замечание 1.14.2. Рассмотрим наиболее интересный случай, когда С и D не равны нулю. Тогда равновесная ситуация определяется двумя формулами р = /D, q = /C из которых следует, что в равновесной ситуации выбор игрока 1 определяется элементами матрицы выигрышей игрока 2 и не зависит от элементов собственной матрицы, а выбор игрока 2 в равновесной ситуации полностью определяется элементами матрицы игрока 1 и не зависит от элементов собственной матрицы. Иными словами, равновесная стратегия обоих игроков определяется не столько стремлением увеличить собственный выигрыш, сколько держать под контролем выигрыш другого игрока (минимизировать его). Таким образом, в бима-тричной игре мы сталкиваемся не с антагонизмом интересов, а с антагонизмом поведения.

1.15 Задачи

1. Какие стратегии в следующей игре, представленной в нормальной форме, выживают после последовательного исключения строго доминируемых стратегий? Найдите все равновесия по Нэшу.

2. Игроки I и II торгуются по поводу того, как поделить один доллар. Оба игрока одновременно называют доли, которые они бы хотели иметь, S1 и S2 , где 0  S1, S2  1 . Если S1 + S2  1 , то игроки получают названные доли; если S1 + S2 > 1 , то оба игрока ничего не получают. Каковы равновесия по Нэшу в этой игре?

3. Рассмотрим модель олигополии по Курно с n фирмами. Пусть Q объем произведенной продукции фирмой i и пусть Q = q1 + … + qn  общий объем продукции на рынке. Предположим, что функция обратного спроса имеет вид P(Q) = а  Q (для Q  а, иначе Р = 0 ). Полные затраты фирмы i на производство продукции в размере qi есть C(qi) = сqi, то есть постоянных затрат нет, а предельные затраты постоянны и равны с, причем с

4. Рассмотрим следующий конечный вариант модели дуополии по Курно. Допустим, что каждая из фирм должна выбрать, производить ли половину монопольного объема продукции, qm/2 = (а  с)/4 , либо равновесный по Курно объем, qc = (а  с)/3 . Другие объемы производства в такой модели невозможны. Показать, что эта игра с двумя ходами эквивалентна дилемме Заключенного: каждая фирма имеет строго доминируемую стратегию и в равновесии обе фирмы оказываются в менее выгодном положении, нежели в ситуации, когда бы они выбрали сотрудничество (кооперацию).

1Далее мы будем ссылаться на эти книги без указания года издания.

2 В англоязычной литературе общепринятыми являются названия Industrial Organization или Industrial Economics. Соответствующие русские названия курсов — это уже упомянутая теория организации промышленности, структура отраслевых рынков, теория организации отраслевых рынков и другие. Здесь и далее мы будем в сносках указывать английские соответствия основным используемым понятиям.

4 Приложения кооперативных игр мы достаточно подробно рассмотрим в гл.6.

5 или расширенная форма — extensive form

6 normal form representation

7 В настоящей главе, в которой рассматриваются статические игры , то есть игры, в которых игроки ходят один раз, одновременно и независимо, стратегия игрока и его ход — это одно и то же. Принципиальная разница, как мы увидим ниже, возникает в динамическом случае.

8 Разумеется, в общем случае, мы не должны исключать случаи SПSi ; соответствующие "играм с запрещенными ситуациями". Однако мы здесь такие игры не рассматриваем.

12 razionalizable strategies

13 correlated equilibrium

14 10Русский перевод статьи Гликсберга опубликован в сборнике "Бесконечные антагонистические игры (1963). Под ред. Н.Н.Воробьева. М.: Физматгиз. В русских переводах можно встретить две версии транскрипции Fan Ky: Фань Цзи (см., например, упомянутый выше сборник) и Ки Фань (см., например, Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988).

15 Многозначное отображение F называется полунепрерывным сверху (п.н.св.), если из хп  х yF(xn) , уп  у следует уF(x) .

16 Вообще говоря, под исходом следует понимать полное описание "результата" игры: и выбранные стратегии и соответствующие выигрыши игроков и, возможно, какие-то другие атрибуты (например, объявление о том, что победил такой-то игрок X ). В данном случае мы имеем в виду победившую альтернативу.

17 Мы всегда будем ограничиваться рассмотрением лишь условия I порядка (в тех случаях, когда это необходимо), считая, что они определяют решение (не упоминая условия II , поскольку в тех ситуациях, которые мы будем рассматривать, это действительно, будет иметь место).

18 Вообще говоря, этот процесс можно рассматривать и без чередования ходов, когда каждая фирма на следующем шаге выбирает объем выпуска, как лучший ответ на предыдущий выбор конкурента (см., например, Fudenberg, Levine (1998)).

19 Normal form trembling hand perfect Hash equilibrium.

20 Р.Зельтен - лауреат Нобелевской премии по экономике 1994 года.

gigabaza.ru