Математическая статистика для экономистов | Никитина Н.Ш. | Учебник. Статистика для экономистов примеры задач


Задачи по статистике с решениями

Примеры решения задач по статистике

Задача Статистическая сводка и группировка.

Теория по решению задачи.

Статистическая сводка – научно обработанный материал статистического наблюдения в целях получения обобщенной характеристики изучаемого явления.

Группировка – распределение единиц изучаемого объекта на однородные типичные группы по существенным для них признакам.

Интервал – разница между максимальным и минимальным значением признака в каждой группе.

, где

i – величина интервала;

R – размах колебания (R=xmax-xmin)

n – принятое число групп;

xmax, xmin – наибольшее и наименьшее значение признака в изучаемой совокупности.

, где

N – число наблюдений

Типовая задача № 1

Распределите потребительские общества по размеру товарооборота на 3 группы с равными интервалами. В каждой группе подсчитайте количество потребительских обществ, сумму товарооборота, сумму издержек обращения. Результаты группировок представьте в табличной форме. К какому виду статистических таблиц относится составление вами таблица, и какой вид группировки она содержит?

Имеются основные экономические показатели потребительских обществ за отчетный период:

Таблица № 1

№ п/п

Товарооборот в млн. грн.

Издержки обращения, в млн. грн.

Прибыль, в млн. грн.

1

390

14

40

2

190

8

15

3

180

8

15

4

450

16

42

5

200

10

20

6

390

14

40

7

180

10

13

8

250

11

25

9

330

12

25

10

240

8

21

11

300

11

24

12

230

10

15

13

420

12

36

14

190

14

12

15

450

15

42

16

200

8

23

Итого

4590

181

408

Ход решения задачи:

Т. к. нам известен группировочный признак, работу необходимо начать в определения величины интервала по формуле:

Образец 3 группы потребительских обществ по размеру товарооборота.

Определяем границы групп:

1 группа: 180+90=270 (180-270)

2 группа: 270+90=360 (270-360)

3 группа: 360+90+450 (360-450)

После того, как выбран группировочный признак, намечено число групп и образованы сами группы, необходимо отобрать показатели, которыми будут характеризоваться группы, и определить их величину по каждой группе.

В нашем примере каждую группу необходимо охарактеризовать следующими показателями:

а) количеством потребительских обществ;

б) суммой товарооборота;

в) суммой издержек обращения.

Для заполнения итоговой таблицы составим предварительно рабочие таблицы № 2, 3, 4.

Группа потребительских обществ с товарооборотом от 180 до 270 млн. грн.

Таблица № 2

№ п/п

Номер потребительского общества

Товарооборот, в млн. грн.

Сумма издержек обращения, в млн. грн.

1

2

190

8

2

3

180

8

3

5

200

10

4

7

180

10

5

8

250

11

6

10

240

8

7

12

230

10

8

14

190

14

9

16

200

8

Итого

9

1860

87

Группа потребительских обществ с товарооборотом от 270 до 3660 млн. грн.

Таблица № 3

№ п/п

Номер потребительского общества

Товарооборот, в млн. грн.

Сумма издержек обращения, в млн. грн.

1

9

330

12

2

11

300

11

Итого

2

630

23

Группа потребительских обществ с товарооборотом от 360 до 450 млн. грн.

Таблица № 4

№ п/п

Номер потребительского общества

Товарооборот, в млн. грн.

Сумма издержек обращения, в млн. грн.

1

1

390

14

2

4

450

16

3

6

390

14

4

13

420

12

5

15

450

15

Итого

5

2100

71

Итоговые показатели рабочих таблиц занесем в окончательную итоговую таблицу и получим групповую таблицу № 5.

Группировка потребительских обществ, по размеру товарооборота:

Таблица № 5

Группы потребительских обществ по размеру товарооборота, млн. грн.

Количество потребительских обществ

Товарооборот, в млн. грн.

Сумма издержек обращения, в млн. грн.

180-270

9

1860

87

270-360

2

630

23

360-450

16

4590

181

Вывод: По результатам итоговой таблицы можно сделать вывод, что с увеличением объема товарооборота потребительских обществ, относительный показатель уровня издержек обращения снижается. Следовательно, между ними существует обратная связь. Составленная нами таблица является групповой таблицей, т. к. ее подлежащее содержит группы потребительских обществ по размеру товарооборота. Она содержит аналитический вид группировки.

 

Задача - Ряды распределения и статистические таблицы.

Теория по решению задачи.

Статистический ряд распределения – упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по определенному варьирующему признаку.

Дискретный вариационный ряд – характеризует распределение единиц совокупности по дискретному (прерывному) признаку.

Интервальный вариационный ряд – характеризует распределение единиц совокупности по интервальному (непрерывному) признаку.

Для изображения дискретных вариационных рядов распределения используется «полигон распределения». Для графического изображения интервального вариационного ряда применяются «гистограмма» и «кумулята».

Задача 1.

На экзамене по истории студенты получили оценки:

3 4 4 4 3 4

3 4 3 5 4 4

5 5 2 3 2 3

3 4 4 5 3 3

5 4 5 4 4 4

Построить дискретный вариационный ряд распределения студентов по баллам и изобразить его графически.

Ход решения задачи:

Определяем элементы ряда распределения: варианты, частоты, частоты.

Оценка, баллы

Кол-во студентов с такой оценкой, человек

В процентах к итогу

2

2

6,7

3

9

30

4

13

43,3

5

6

20

Итого

30

100

Теперь графически изобразим дискретный ряд распределения в виде помпона распределения.

 

Можно сделать вывод о том, что преобладающее большинство студентов получило «4» (43,3 %).

Задача 2.

Во время выборочной проверки было установлено, что продолжительность одной покупки в кондитерском отделе магазина была такой: (секунды).

77 70 82 81 81

82 75 80 71 80

81 89 75 67 78

73 76 78 73 76

82 69 61 66 84

72 74 82 82 76

Построить интервальный вариационный ряд распределения покупок по продолжительности, создав 4 группы с одинаковыми интервалами. Обозначить элементы ряда. Изобразить его графически, сделать вывод.

Ход решения задачи по статистике:

Определяем элементы ряда распределения: варианты, частоты, частости, накопленные частоты.

Но прежде рассчитаем границы 4 заданных групп с одинаковыми интервалами:

Величину интервала определим по формуле .

В нашем случае

Границы групп соответственно равны:

I 61+7=68 (61-68)

II 68+7=75 (68-75)

III 75+7=82 (75-82)

IV 82+7=89 (82-89)

Группы покупок по продолжительности, сек.

Число покупок

В процентах к итогу

Накопленные частоты

61-68

3

10

3

68-75

9

30

12

75-82

16

53,3

28

82-89

2

6,7

30

Итого

30

100

 

Теперь графически отобразим наш интервальный вариационный ряд в виде гистограммы и кумуляты.

 

По таблице и графика можно сделать вывод о том, что преобладающее большинство покупок (16 или 53.3%) находится во временном интервале 75-82, сек.

 

Статистика задача - Абсолютные и относительные величины.

Теория по решению статистической задачи.

Абсолютные величины – показатели, которые выражают размеры общественных явлений и процессов числом единиц совокупности.

Относительные величины – показатели, выражающие количественные соотношения численностей или величин признаков изучаемых явлений.

Виды относительных величин:

1)  Относительная величина выполнения плана:

2)  Относительная величина планового задания:

3)  Относительная величина динамики:

4)  Относительная величина структуры:

5)  Относительная величина сравнения отражает соотношение двух объемов или уровней в пространстве: соотношение производства автомобилей в Украине и России, соотношение уровней оплаты труда в разных хозяйствах, соотношение уровней производительности на разных предприятиях отрасли и т. д.

6)  Относительная величина координации получается посредством деления друг на друга разноименных исходных показателей, она дает типичную характеристику соотношения одно-порядковых по значимости исходных показателей, во-первых, непосредственно связанных между собой, во-вторых, обладающих некоторой общностью.

7)  Относительная величина интенсивности:

Типовая задача № 1

Два консервных завода выработали по 100 тыс. шт. банок виноградного сока. На первом заводе емкость каждой банки составляет 500 см3, а на втором – 200 см3. Можно ли сказать, что оба завода работали одинаково?

Ход решения задачи по статистике:

Для того, чтобы ответить на этот вопрос необходимо установить коэффициенты перевода фактического объема банок в условные банки и затем умножить количество выпущенных банок на эти коэффициенты. Представим расчет в таблице № 1.

Таблица № 1

Заводы

Количество выпущенных банок, тыс. шт.

Объем банки см3

Коэффициенты перевода

Количество выпущенных условных банок, тыс. шт.

№ 1

100

500

100*1,414=141,4

№ 2

100

200

100*0,566=56,6

Таким образом, завод № 1 по сравнению с заводом № 2 выпустил виноградного сока на 84,8 тыс. Банок больше (141,4-56,6).

Статистика - Типовая задача № 2

Имеются следующие данные розничного товарооборота:

Таблица № 2

Универмаги

Розничный товарооборот (млн. грн.)

Фактически за базисный год

Отчетный год

По плану

Фактически

«Крым»

105

110

98

«Центральный»

137

148

150

Определить:

1.  Относительную величину выполнения плана.

2.  Относительную величину планового задания.

3.  Относительную величину динамики.

Ход решения задачи:

1.  Определяем относительную величину выполнения плана по двум универмагам:

2.  Определим относительную величину планового задания:

3.  Определяем относительную величину динамики:

 

Статистическая задача - Средние и структурные средние величины.

Теория по решению статистической задачи:

Средние величины – это показатели. Выражающие типичные черты и дают обобщающую количественную характеристику уровня признака по совокупности однородных явлений.

1.  Средняя арифметическая:

2.  Средняя гармоническая:

3.  Средняя квадратическая:

4.  Средняя хронологическая:

5.  Средняя геометрическая:

К1, К2, К3 и Кn – коэффициенты динамики по отношению к предыдущему периоду.

6.  мода интервальных рядов распределения вычисляется по следующей формуле:

х0 – минимальная граница модального интервала;

i – величина интервала;

f2 – частота модального интервала;

f1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f3 – частота интервала, следующего за модальным.

Мода для дискретных рядов распределения – это наиболее часто встречающаяся величина признака в данной совокупности.

7.  Медиана для интервальных рядов распределения вычисляется по формуле:

x0 – нижняя граница медианного интервала;

i – величина медианного интервала;

∑f – сумма частот ряда;

SМЕ-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

fМЕ – частота медианного интервала.

Чтобы определить медиану в дискретном вариационном ряду. Необходимо сумму частот разделить пополам и к полученному результату добавить ½.

Типовая задача № 1

Имеются следующие данные о заработной плате рабочих:

Таблица № 1

Месячная заработная плата (грн.) (х)

Число рабочих (f)

х*f

х1=120

27

3240

х2=145

33

4785

х4=200

48

9600

х5=208

51

10608

х6=250

16

4000

х7=337

28

9436

Итого

203

41669

Определите среднюю заработную плату одного рабочего.

Ход решения:

Среднюю заработную плату определим по формуле средней арифметической взвешенной:

Т. о. средняя заработная плата рабочего составила 205,27 грн.

Типовая задача (статистика) № 2

Имеются, следующие данные выпуска литья в литейном цехе завода за пятилетний период:

Таблица № 2

Годы

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

Выпуск литья, тонн

528,34

336,98

439,24

297,55

672,17

В % к предыдущему году

-

63,8

130,3

67,7

225,9

Требуется определить средний темп выпуска литья.

Ход решения задачи:

Для определения среднего темпа выпуска литья используем формулу средней геометрической:

Типовая задача № 3

Имеются следующие данные:

Таблица № 3

Група рабочих по размеру заработной платы (в грн.)

Число рабочих

SМЕ

150-200

28

28

200-250

54

82

250-300

30

112

300-350

47

159

350-400

63

222

400-450

18

240

450-500

22

262

Итого

262

-

Определить моду и медиану.

Ход решения задачи:

1.  Определяем моду:

2.  Определяем медиану:

Практические задачи  по статистике для самостоятельного решения с ответами

Задача по статистике 1.

Имеются следующие данные об урожайности зерновых культур:

Урожайность зерновых культур

Количество хозяйств

До 20

30

20-30

40

30-40

60

40 и выше

20

Определить среднюю урожайность зерновых культур, моду и медиану.

Ответ.

средняя урожайность: 30,3 ц/га

мода: 33,3

медиана: 30,8

Задача 2.

Годы

97г.

98г.

99г.

2000г.

2001г.

Производства зерна, тыс. тонн

150

168

179

186

191

Требуется определить: (цепным и базисным способом):

1)  абсолютный прирост;

2)  темп роста и прироста;

3)  средний абсолютный прирост;

4)  средние темпы роста и прироста.

Ответ 2.

цепным способом                             базисным способом

абсолютный прирост 18                      абсолютный прирост 18

11                                                        29

7                                                          36

5                                                          41

темп роста 1,12                                 темп роста 1,12

1,07                                                      1,19

1,04                                                      1,24

1,03                                                      1,27

темп прироста 0,12                            темп прироста 0,12

0,07                                                      0,19

0,04                                                      0,24

0,03                                                      0,27

средний абсолютный прирост: 31       средний абсолютный прирост: 31

средний темп роста 1,02                    средний темп роста: 1,05

средний темп прироста 0,02                средний темп прироста: 0,05

Задача 3.

Методом случайной повторной выборки было взято для проверки на вес 200 шт. деталей. В результате проверки был установлен средний вес детали 30 г. при среднем квадратическом отклонении 4 г. С вероятностью 0,954 требуется определить предел в котором находится средний вес деталей в генеральной совокупности.

Ответ.

Средний вес детали колеблется в пределах 29,44 ‹ х ‹ 30,56.

Задача 4.

По имеющимся данным определить индивидуальные и общий индексы себестоимости и экономию (перерасход) от снижения (роста) себестоимости.

Вид товара

Общие затраты, грн.

Имеющие единицы себестоимость в отчетном году, %

Базисный год

Отчетный год

Электробритва

9500

10244

-1,5

Электрофен

600

612

+2,0

Ответ.

Индивидуальный индекс себестоимости по электробритве 0,985

Индивидуальный индекс себестоимости электрофену 1,02

Общий индекс себестоимости 0,99.

Перерасход денежных средств от роста себестоимости 144 грн.

Задача 5.

Полная первоначальная стоимость оборудования 250,4 тыс. грн. Это оборудование может работать 20 лет при условии проведения в капитальных ремонтов на сумму 2,5 тыс. грн. каждый. После полного износа оборудования может быть реализовано как металлолом за 1 тыс. грн. Затраты на модернизацию в течении срока службы 62,6 тыс. грн. Определить сумму ежегодных амортизационных отчислений, общую норму амортизации.

Ответ.

Сумма ежегодных отчислений 16,6 тыс. грн.

Общая норма амортизации 6,6 %.

Задача по статистике 6.

Определить календарный, режимный, располагаемый (плановый) и фактический фонды станочного времени по 2 видам станков и коэффициенты использования станочного времени за апрель по таким данным:

Виды станков

Количество установленных станков

Фактически отработано станкочасов

Запланировано на ремонт станков, станкочасов

Токарные

48

15127

60

Фрезерные

52

16420

80

Число рабочих дней в апреле 22. Режим работы – 2 смены. Установленная продолжительность смены: 8 часов.

Ответ.

Календарный фонд 72000 станкочасов

Режимный фонд 35200 станкочасов

Плановый фонд 35060 станкочасов

Фактический фонд 31547 станкочасов

Коэффициент использования календарного фонда 43,8 %

Коэффициент использования режимного фонда 89,6 %

Коэффициент использования планового фонда 90 %

Задача 7.

В квартале 62 рабочих дня, отработало 136400 человеко-дней; целодневные простои 930 человеко-дней; неявок по различным причинам (включая праздничные и выходные) 69670 человеко-дней. Определить: коэффициенты использования среднесписочной и среднеявочной численности.

Ответ.

К использования среднесписочной численности 0,96 %

Коэффициент использования среднеявочной численности 0,99 %

Задача 8.

На заводе с численностью персонала 3000 человек производительность труда выросла на 25 %, а на заводе, где работают 5000 человек, снизилась на 5 %. Как изменилась производительность труда на 2-х заводах вместе.

Ответ.

Увеличилась на 6 % производительность на двух заводах.

Задача 9 по статистике

Объем продукции в натуральном выражении на предприятии вырос за отчетный период на 28 %, а производственные затраты в целом возросли на 19 %. Определить как изменилась себестоимость единицы продукции.

К задаче 9 ответ

Себестоимость единицы продукции снизилась на 7 %.

Задача 10.

Какой была численность населения в начале и конце года, если среднегодовой показатель ее за этот год составил 800 тыс. человек, сальдо миграции + 32 тысячи человек, коэффициент естественного прироста 30 % 0.

Ответ - Численность на начало года 772000 человек.

К задаче 10.

Численность на конец года 828000 человек.

zadachi-ru.com.ua

Социально-экономическая статистика. Практикум

ТЕМА 1. Статистика населения.

1.1. Методические указания и решение типовых задач.

Общество, его социальная и экономическая базы не являются чем-тозастывшим. Процесс взаимодействия различных компонентов общественного развития есть взаимосвязь процессов, а не комплекс неизменных форм.

Поэтому необходимо говорить о взаимосвязи процессов экономического и демографического воспроизводства, а не о каких-тостатистических формах,

например, соотношении численности населения и объема продукции на какую-тодату.

Воспроизводство населения – это непрерывный процесс взаимозаменяемости различного рода социально-экономическихи демографических структур, составляющих основу населения. В исследовании проблем воспроизводства населения остановимся на их демографо-

экономическом аспекте.

В задачи статистики населения входит изучение его численности,

состава, естественного и миграционного движения. Население в демографии – это совокупность людей, самовоспроизводящаяся в процессе смены поколений.

При определении численности населения статистика использует ряд показателей. В зависимости от характера проживания на данной территории различают наличное и постоянное население. Выделяется и третья категория – юридическое (приписное) население, которая в современных переписях не используется. К наличному населению относятся лица, которые живут в данном населенном пункте на момент учета, независимо от места их постоянного жительства. К постоянному населению относятся лица, которые постоянно живут в данном населенном пункте, включая временно отсутствующих.

Категории постоянного и наличного населения связаны с категориями временно отсутствующих и временно живущих по данному адресу. К числу временно отсутствующих относятся лица, выехавшие из места постоянного жительства на срок не более 6 месяцев. К числу временно живущих по адресу относятся лица, которые живут в данном населенном пункте временно не более 6 месяцев и имеют постоянное место жительства в другом месте.

studfiles.net

Математическая статистика в примерах и задачах

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Смоленский государственный университет»

Г.С.ЕВДОКИМОВА

Учебное пособие для практических занятий

Смоленск

Издательство СмолГУ

2014

УДК 519.2

ББК 22. 17 я 73-2

Печатается по решению

Е 155 редакционно-издателъского

совета СмолГУ

Рецензент

С.А. Гомонов, кандидат физико-математических наук, доцент

Евдокимова Г.С.

Математическая статистика в примерах и задачах: учебное пособие / Г.С. Евдокимова; Смол. гос. ун-т. – Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2014. – 98 с.

Учебное пособие создано в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом для бакалавров по направлению подготовки 270800 «Строительство».

Цель учебного пособия – помочь студенту освоить и понять объем математических знаний в части математической статистики. Этому способствуют опорные конспекты ко всем разделам пособия, детально разобранные типовые задачи, часть из которых решена в среде пакета Excel; изрядное количество разнообразных заданий различных уровней сложности для самостоятельного решения, а также наличие индивидуальных домашних заданий и вопросов для самоконтроля.

Пособие может быть полезным студентам, обучающимся по направлению подготовки «Землеустройство и кадастры», «Экономика», «Педагогическое образование» и другим, изучающим данную дисциплину.

УДК 519.2 ББК 22. 17 я 73-2

Оглавление

Предисловие

4

МОДУЛЬ 1. Анализ вариационных рядов

1.1. Генеральная совокупность и выборочный метод. Графическое и табличное представление данных

6

1.2. Выборочные числовые характеристики

31

1.3. Точечные оценки. Методы нахождения точечных оценок

48

1.4. Доверительные интервалы

71

1.5. Проверка статистических гипотез

96

МОДУЛЬ 2.

2.1. Линейная регрессия. Элементы корреляционного анализа

153

Индивидуальные домашние задания

197

Приложение

206

Литература

211

Предисловие

Содержание учебно-методического пособия позволяет получить практиче­ские навыки в соответствии с требованиями государственных об­разовательных стандартов высшего профессионального образова­ния для бакалавров направления «Строительство». Учебно-методические разработки составлены в соот­ветствии с модульной технологией. Подмодули включают опорные конспекты, содержащие необходимые сведения для практического применения материала подмодуля, во­просы для самоконтроля; учебные и практические задачи с реше­ниями и задачи для самостоятельного решения.

Пособие содержит достаточное количество задач для аудитор­ных занятий и для самостоятельной работы вне аудитории. В нем заложена структура дидактического процесса по схеме: 1) осмыс­ление опорного конспекта 2) анализ задач с решениями 3) само­стоятельное решение задач 4) в случае затруднения возвращение к 1) 5) решение вариантов контрольных работ. Применение схемы делает возмож­ным самостоятельное овладение практическими навыками по изу­ченным темам, большое внимание удалено прикладным задачам. Все это способствует формированию профессиональной компетентности будущего специалиста в области математической статистики.

Математическая статистика – раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов на­блюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей.

Математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей. Обе эти математические дисциплины изучают массовые случайные явления. Связующим звеном между ними являются предельные теоре­мы теории вероятностей. При этом теория вероятностей выводит из ма­тематической модели свойства реального процесса, а математическая статистика устанавливает свойства математической модели, исходя из данных наблюдений.

Полученные в результате наблюдения сначала надо каким-либо образом обработать: упорядочить представить в удобном для обозрения и анализа виде. Затем оценить, хотя бы приблизительно, интересующие характеристики наблюдаемой случайной величи­ны. Например, дать оценку неизвестной вероятности события, оценку неизвестной функции распределения, оценку параметров рас­пределения, вид которого неизвестен, и т. д.

Следующей задачей является провер­ка статистических гипотез, т.е. решение вопроса согласования ре­зультатов оценивания с опытными данными. Например, выдвигается гипотеза, что: а) наблюдаемая случайная величина подчиняется нормальному закону; б) математическое ожидание наблюдаемой случайной величины равно нулю и т. д.

Одной из важнейших задач математической статистики является разработка методов, позволяющих по результатам обследования выборки (т. е. части исследуемой совокупности объектов) делать обосно­ванные выводы о распределении признака изучаемых объектов по всей совокупности.

Результаты исследования статистических данных методами мате­матической статистики используются для принятия решения, (в зада­чах планирования, управления, прогнозирования и организации произ­водства, при контроле качества продукции, при выборе оптимального времени настройки или замены действующей аппаратуры и т.д.), т.е. для научных и практических выводов. А. Вальд говорил, что «математическая статистика — это теория принятия решений в условиях неопределенности».

Для обработки статистических данных созданы специальные про­граммные пакеты, которые выполняют трудоемкую работу по расче­ту различных статистик, построению таблиц и графиков.

Математическая статистика возникла в XVIII веке в работах Я. Бернулли, П. Лапласа, К. Пирсона. В ее современном развитии опре­деляющую роль сыграли труды Г. Крамера, Р. Фишера, Ю. Неймана и др. Большой вклад в математическую статистику внесли русские уче­ные П. Л. Чебышев, А. М. Ляпунов, А. Н. Колмогоров, Б. В. Гнеденко и другие.

studfiles.net

Математическая статистика для экономистов | Никитина Н.Ш.

Скачать бесплатно учебное пособие: Математическая статистика для экономистовГод выпуска: 2001

Автор: Никитина Н.Ш.

Жанр: экономика / статистика / учебник

Издательство: «ИНФРА-М»

Формат: DjVu

Качество: Отсканированные страницы

Количество страниц: 170

Описание: Данное учебное пособие явилось результатом многолетнего опыта автора в преподавании курса «Математическая статистика» студентам экономических специальностей. Особенность пособия -его прикладная направленность. Все практические примеры в пособии взяты из области экономики или управления социальными и экономическими системами.Основная цель данного учебного пособия - научить студентов анализировать и идентифицировать исследуемую прикладную задачу, выбирать адекватные методы ее решения, решать задачу, интерпретировать результаты в терминах прикладной области и прогнозировать поведение исследуемого процесса при изменении влияющих факторов.В пособие включены лишь некоторые разделы математической статистики, призванные сформировать теоретическую базу и практические навыки, которые могут быть использованы студентами как в будущей профессиональной деятельности, так и при последующем изучении таких дисциплин, как «Статистика», «Эконометрика» и др.Учебное пособие состоит из предисловия, введения, четырех глав («Описательная статистика. Основные понятия выборочного метода», «Описание эмпирических данных вероятностными моделями» «Предварительный анализ данных. Статистические критерии проверки гипотез», «Анализ статистической связи. Корреляционный анализ»), списка рекомендованной литературы и приложений с необходимыми таблицами математической статистики.

Пособие написано таким образом, чтобы студенты имели возможность самостоятельно изучать курс. Каждая глава теоретического материала начинается ее структурной схемой, позволяющей студенту составить целостное представление об изучаемом материале, увидеть взаимосвязь отдельных тем, понятий в теме, место темы в главе и курсе. Каждой теме предшествуют цели, которые должны быть достигнуты студентом в процессе ее изучения. Цели сформулированы в терминах, допускающих возможность последующей проверки их достижения. После изучения темы студент в состоянии сам проверить свои успехи, обратившись к целям и заданиям для самоконтроля, а преподаватель легко может составить контролирующие материалы, например в тестовой форме, ориентируясь на сформулированные цели.В учебном пособии, наряду разобранными примерами приводятся контрольные задания, которые студенты при необходимости могут выполнить. Многие задания имеют содержательное описание.

Научная деятельность автора, послужившая основой для реализации данного учебного пособия, проводилась в Новосибирском государственном техническом университете при выполнении научных работ, связанных со статистической обработкой технической, медицинской, экономической, социологической и других видов информации.Учебное пособие подготовлено на кафедре экономической информатики и в Научно-методическом центре Новосибирского государственного технического университета. По материалам пособия разработан электронный учебник.Автор благодарен О. В. Казанской, совместная работа с которой повлияла на структуру курса и содержание основных разделов, а также В. В. Губареву, взявшему на себя труд прочесть рукопись и сделать ряд ценных замечаний и рекомендаций.Автор признателен Э. И. Кропотовой, выполнившей компьютерный набор и оформление рукописи.

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНИКА

 

Общие сведенияМатериальные объекты. Их вероятностная природаЭтапы решения задачи описания эмпирических данных вероятностными моделями1. Описательная статистика. Основные понятия выборочного метода1.1. Основные понятия математической статистики. Задачи математической статистики 1.2. Этапы статистической обработки эмпирических данных с использованием компьютера1.3. Оценивание характеристик случайных величин
  • 1.3.1. Оценивание функционных характеристик
  • 1.3.2. Оценивание числовых характеристик
1.4. Интервальное   оценивание   числовых   характеристик   случайны) величин
  • 1.4.1. Асимптотические свойства оценок
  • 1.4.2. Постановка задачи интервального оценивания характеристик случайных величин. Основные понятия
  • 1.4.3. Построение доверительных интервалов для математического ожидания
    • 1.4.3.1. Построение доверительного интервала для математического ожидания при известной дисперсии
    • 1.4.3.2. Построение доверительного интервала для математического ожидания при неизвестной дисперсии
  • 1.4.4. Построение доверительных интервалов для дисперсии
    • 1.4.4.1. Построение доверительного интервала для дисперсии при известном математическом ожидании
    • 1.4.4.2. Построение доверительного интервала для дисперсии при неизвестном математическом ожидании
2. Описание эмпирических данных вероятностными моделями2.1. Постановка задачи структурной и параметрической идентификации2.2. Типовые вероятностные модели одномерных непрерывных законов распределения. Общие сведения
  • 2.2.1. Нормальное (Муавра - Лапласа - Гаусса) распределение
  • 2.2.2. Экспоненциальное (показательное) распределение
  • 2.2.3. Равномерное (прямоугольное) распределение
  • 2.2.4. t-распределение Стьюдента
  • 2.2.5. Распределение хи-квадрат
  • 2.2.6. Распределение Фишера
2.3. Упорядочение моделей. Метод плоскости моментов2.4. Статистическое оценивание параметров
  • 2.4.1. Метод моментов
  • 2.4.2. Метод максимального правдоподобия
3. Предварительный анализ данных. Статистические критерии проверки гипотез3.1. Постановка задачи. Общая логическая схема статистического критерия проверки гипотез3.2. Проверка гипотез о равенстве числовых характеристик случайных величин
  • 3.2.1. Проверка гипотез о равенстве дисперсий случайной величины при известных математических ожиданиях
  • 3.2.2. Проверка гипотез о равенстве дисперсий случайной величины при неизвестных математических ожиданиях
  • 3.2.3. Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий случайных величин при известных дисперсиях
  • 3.2.4. Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий случайных величии при неизвестных дисперсиях
3.3. Проверка гипотез об однородности двух или нескольких выборок
  • 3.3.1. Проверка гипотез об однородности двух выборок по критерию у2
  • 3.3.2. Проверка гипотез об однородности двух выборок по критерию Вилкоксона - Манна - Уитни
3.4. Проверка гипотез  о стохастической  независимости элементов выборки
  • 3.4.1. Критерий серий, основанный на медиане
  • 3.4.2. Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий
  • 3.4.3. Критерий стохастической независимости Аббе
3.5. Проверка гипотез о согласии эмпирического распределения и выбранной модели
  • 3.5.1. Критерий согласия х2 - Пирсона
  • 3.5.2. Критерий согласия Колмогорова-Смирнова
4. Анализ статистической связи. Корреляционный анализ4.1. Общие сведения. Задачи корреляционного анализа4.2. Анализ статистической связи между количественными переменными. Измерение парных статистических связей
  • 4.2.1. Коэффициент корреляции
    • 4.2.1.1. Оценивание и свойства коэффициента корреляции
    • 4.2.1.2. Проверка гипотезы об отсугегвии линейной статистической связи
    • 4.2.1.3. Доверительные интервалы для иегинного значения коэффициента корреляции
  • 4.2.2. Корреляционное отношение
    • 4.2.2.1. Оценивание и свойства корреляционного отношения
    • 4.2.2.2. Проверка гипотезы об отсутствии нелинейной корреляционной связи
  • 4.2.3. Частный коэффициент корреляции
4.3. Анализ статистических связей между порядковыми переменными. Ранговая корреляция
  • 4.3.1. Общие сведения
  • 4.3.2. Оценивание парных ранговых связей
    • 4.3.2.1. Ранговый коэффициент корреляции Спирмэна
    • 4.3.2.2. Ранговый коэффициент корреляции Кендалла
  • 4.3.3. Анализ множественных ранговых связей
    • 4.3.3.1. Коэффициент конкордации
    • 4.3.3.2. Проверка статической значимости множественной связи
ПриложенияФункция стандартного нормального распределенияПроцентные точки распределения СтыодентаПроцентные точки распределения хи-квадратПроцентные точки распределения ФишераКритические точки статистики критерия ВилкоксонаКритерий АббеТаблица значений функции КолмогороваПреобразование Фишера (z-преобразование) выборочного коэффициента корреляции Социально-экономическая статистика | Башкатов Б. И. | Учебник< Предыдущая Следующая >Информационные системы в экономике | Балдин К. В. Уткин В. Б | Учебник
 

institutiones.com

5.2. Примеры решения задач по теме «Индексы»

96

Задача 5.1

Имеются данные о цене и физическом объеме произведенной продукции промышленного предприятия за базисный и отчетный периоды (графы 24 табл. 5.1).

Таблица 5.1

Физический объем и цена произведенной продукции

Номер группы изделий

Номер

изделия

Цена изделия,, тыс. р.

Количество изготовленных изделий, , шт.

Стоимость продукции в отчетном периоде

(тыс. р.) по цене

в базисном периоде,

в отчетном периоде,

в базисном периоде,

в отчетном периоде,

базисного периода,

отчетного периода,

А

Б

1

2

3

4

5

6

I

1

16

15

800

1000

16000

15000

2

20

20

450

500

10000

10000

3

40

35

150

200

8000

7000

II

4

50

60

120

100

5000

6000

5

150

180

40

50

7500

9000

6

200

200

2

5

1000

1000

Итого

47500

48000

в том числе:

группа I

34000

32000

группа II

13500

16000

Определить групповые и общие агрегатные индексы цен и физического объема продукции.

Решение

1. Агрегатный индекс цен рассчитывается по формуле

Для определения индекса цен необходимо вычислить фактическую стоимость продукции каждого вида в отчетном периоде () и условную стоимость продукции отчетного периода по ценам базисного (). Результаты расчета стоимости продукции приведены в графах 5 и 6 табл. 5.1.

2. Общий агрегатный индекс цен по 6-ти изделиям

Цены в среднем увеличились на 1%.

3. Агрегатные индексы цен

 по группе I

цены в среднем снизились на 5,9%;

 по группе II

цены в среднем увеличились на 18,5%.

4. Общий агрегатный индекс физического объема по 6-ти изделиям

Физический объем продукции (объем производства в неизменных ценах) по всем изделиям увеличился на 18,1%.

5. Агрегатные индексы физического объема продукции

 по группе I

физический объем продукции вырос на 22,3%;

 по группе II

физический объем продукции вырос на 5,5%.

Задача 5.2

Имеются данные о физическом объеме и цене реализованной продукции промышленного предприятия за три квартала текущего года (табл. 5.2).

Таблица 5.2

Физический объем и цена реализованной продукции

Вид

продукции

Количество реализованной

продукции, шт.

Цена единицы продукции, р.

1-й квартал

2-й квартал

3-й квартал

1-й квартал

2-й квартал

3-й квартал

А Б В

100

300

800

120

300

850

150

320

900

60

80

20

58

86

22

56

85

25

Определить цепные и базисные индексы физического объема и цен реализованной продукции. Показать взаимосвязь цепных и базисных индексов.

studfiles.net

Экзаменационные вопросы и задачи по курсу математической статистики для экономистов

Главная стр 1 скачать Экзаменационные вопросы и задачи по курсу математической статистики для экономистов.
  1. Генеральная совокупность и выборка. Два варианта интерпретации выборочных значений исследуемой случайной величины. Понятие вариационного ряда, варианты, статистический закон распределения.
  2. Эмпирическая функция распределения и её свойства. Сформулировать и доказать теорему Гливенко о статистической устойчивости функции распределения.
  3. Группировка выборочных данных. Выборочная функция плотности распределения, формулировка теоремы Смирнова. Способ построения, гистограмма.
  4. Основные выборочные характеристики генеральной совокупности и их свойства. Сходимость по вероятности. Сформулировать и доказать свойство статистической устойчивости выборочного среднего и выборочных начальных моментов. Теорема Хинчина.
  5. Доказать, что выборочная дисперсии и выборочные центральные моменты являются состоятельными оценками для соответствующих теоретических моментов ( доказать теорему Слуцкого о сходимости по вероятности непрерывной функции двух аргументов).
  6. Статистические оценки и задача статистического оценивания. Свойства несмещенности, состоятельности и эффективности оценок.
  7. Определение асимптотической нормальности последовательности случайных величин. Асимптотическая нормальность выборочного среднего, эмпирической функции распределения и выборочной дисперсии в случае конечной теоретической дисперсии.
  8. Доказать теорему, что если дисперсия асимптотически несмещенной оценки стремится к нулю при n , то эта оценка состоятельна.
  9. Частное и совместное распределение выборочной средней и выборочной дисперсии в случае нормальной выборки. Теорема Фишера.
  10. Гамма и бета функции, их свойства и связь между ними.
  11. Распределения Пирсона , Стьюдента t(n), Фишера F(m,n), Гамма- и Бета- распределения. Определение. Моменты. Асимптотическая нормальность, пользование таблицами.
  12. Понятие о полиномиальном распределении (аналитическое задание, моменты). Его использование при выводе закона распределения i-ой порядковой статистики вариационного ряда случайной величины, имеющей плотность.
  13. Задача статистического оценивания неизвестных параметров. Мера эффективности оценки. Необходимое и достаточное условие эффективности в регулярном случае. Примеры "сверхэффективных" оценок.
  14. Вывести неравенство информации (Рао- Фреше- Крамера) для класса регулярных распределений. Количество информации о параметре, содержащейся в n независимых наблюдениях.
  15. Метод моментов (общая схема и примеры оценивания). Свойство полученных оценок.
  16. Метод максимального правдоподобия (общая схема и примеры). Функция правдоподобия и её вероятностный смысл. Свойство оценок метода максимального правдоподобия.
  17. Метод наименьших квадратов (постановка задачи, система нормальных уравнений, эквивалентность метода наименьших квадратов задаче об ортогональности системе уравнений для определения неизвестного параметра). Свойство оценок, полученных методом наименьших квадратов (формулировка теоремы Гаусса - Маркова).
  18. Интервальные оценки. Уровень доверия. Общий подход к построению точных интервальных оценок. По выборке из нормальной генеральной совокупности N(а,2) построить точные доверительные интервалы для параметра а при известном и неизвестном 2 и для параметра 2 при известном и неизвестном а.
  19. Имея выборки (х1,х2,...,хn) и (y1,y2,...,ym) из двух нормальных генеральных совокупностей, построить точный доверительный интервал для разности теоретических средних этих совокупностей, в предположении, что они обладают одинаковыми (но неизвестными) дисперсиями.
  20. Общий подход к построению приближенных (асимптотически точных) интервальных оценок. Примеры: биномиальное, пуассоновское и равномерное распределения.
  21. Построить точный и асимптотический (приближенный) доверительный интервал с уровнем доверия 0,95 для дисперсии нормальной генеральной совокупности при неизвестном среднем. Сравнить результаты.
  22. Построить асимптотически приближенный интервал с уровнем доверия 0,95 для параметра пуассоновского распределения с доказательством асимптотической нормальности статистики
  23. Построить точный доверительный интервал с уровнем доверия 1-=0,95 для параметра сдвига показательного распределения со сдвигом.
  24. Определение и общая логическая схема всякого статистического критерия проверки гипотез. Примеры задач, приводящих к необходимости проверке гипотез. Пояснить все эти понятия на примере гипотезы о равенстве дифференциации доходов в двух исследуемых совокупностей семей, полагая, что распределение семей по доходам логарифмически нормально внутри каждой из исследуемых совокупностей.
  25. Критическое множество. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости критерия. Критическая статистика. Пояснить все эти понятия на примере гипотезы о среднем значении нормальной случайной величины при неизвестной дисперсии.
  26. Методы построения критериев. Принцип отношения правдоподобия.
  27. Проверка гипотез и доверительные интервалы. Проверить гипотезы о значениях параметров нормальной генеральной совокупности.
  28. Построить критерий однородности средних значений по независимым выборкам из двух нормальных генеральных совокупностей с одинаковыми ( неизвестными и известными) значениями дисперсии с доказательством t-распределения соответствующих критических статистик.
  29. Построить критерий однородности дисперсии по независимым выборкам из двух нормальных генеральных совокупностей с известными и неизвестными значениями теоретических средних с доказательством F- распределения соответствующей критической статистики.
  30. Статистическая проверка гипотезы о независимости пары нормальных случайных величин на основе выборочного коэффициента корреляции.
  31. Проверка гипотез об общим виде закона распределения наблюдаемой случайной величины. Критерий согласия 2 Пирсона. Формулировка теоремы Фишера.
  32. Критерий согласия Колмогорова - Смирнова. Условия его использования.

Задачи.

  1. Найти эффективную оценку среднего значения нормального распределения.
  2. Найти эффективную оценку параметра пуассоновского распределения.
  3. Найти эффективную оценку параметра показательного распределения со сдвигом.
  4. Найти эффективную оценку параметра p биномиального распределения.
  5. Доказать в случае нормальной генеральной совокупности N(а,2) при известном а , что оценка дисперсии является несмещенной, состоятельной и асимптотически нормальной.
  6. Найти методом моментов параметр  равномерно распределенной на [0;] непрерывной случайной величины.
  7. Методом максимального правдоподобия получить оценку параметра сдвига  для показательного распределения со сдвигом.
  8. Методом максимального правдоподобия оценить параметры равномерного распределения на отрезке [а,b].
  9. Найти оценку максимального правдоподобия для среднего значения нормальной генеральной совокупности при известной дисперсии и доказать её эффективность.
  10. Найти оценку максимального правдоподобия для дисперсии нормальной генеральной совокупности при известном среднем и доказать её эффективность.
  11. Найти методом максимального правдоподобия оценку неизвестной вероятности в схеме Бернулли и доказать её эффективность.
  12. Вычислить математическое ожидание и дисперсию выборочного среднего в терминах первых двух теоретических моментов.
  13. Сравнить эффективность оценок для параметра сдвига показательного распределения со сдвигом, полученных методом моментов и методом максимального правдоподобия.
  14. Найти математическое ожидание выборочной дисперсии .
  15. Вычислить математическое ожидание и дисперсию эмпирической функции распределения Fn(x).
  16. Какой закон распределения имеет величина - выборочная функция распределения.
  17. Будет ли непрерывная функция от несмещенных оценок несмещенной оценкой для той же самой функции неизвестных параметров?
  18. Найти распределение случайной величины где  стандартная нормальная величина.
  19. Вычислить среднее значение, дисперсию и моду для 2 - распределения с n степенями свободы.
  20. Построить 5% приближенный доверительный интервал для значения неизвестной функции распределения F(x) , если Fn(x) =0,5; n=400.
  21. Известно, что в результате отдельного испытания может произойти одно из трех событий: А, В или С. Высказана гипотеза о том, что в средне событие А появляется в два раза чаще , чем событие В: Р(А)=2Р(В). По результатам 8000 независимых испытаний, из которых 5016 закончились наступлением события А, 2024 - наступлением события В, 960 - наступлением события С, проверить верна ли высказанная гипотеза. (Указание: гипотеза имеет вид Р(А)=2а, Р(В)=а, Р(С)=1-3а, где а неизвестный параметр (02).
  22. Пояснить на примере: при уровне значимости =0,05 проверить гипотезу о том, что выборка х1=0,8; x2=1,2; x3=0,5; x4=0,3; x5=1,7; x6=1,3 соответствует равномерному распределению на отрезке [0;2].
  23. При уровне значимости =0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические частоты i и теоретические частоты npi попадания наблюдений в интервалы группирования:
i 6 13 21 23 19 12 6
npi 5 14 16 25 21 13 6
  1. Проведено 4096 повторений опыта с одновременным подбрасыванием 12-ти игральных костей. В таблице указано число выпадения определенного количества граней с цифрой "6":
Число выпадений "6" в одном опыте 0 1 2 3 4 5 6 От 7 до 12
Число случаев 447 1145 1181 796 380 115 24 8
Проверить гипотезу о правильности кости.

Пример экзаменационного задания.

  1. Задача статистического оценивания параметров. Мера эффективности оценки. Необходимое и достаточное условие эффективности оценки в регулярном случае. Найти эффективную оценку среднего значения нормального распределения.
  2. Для выборки х1,х2,...,хn из нормальной генеральной совокупности с параметрами а и 2 сформулировать и доказать теорему Фишера. Доказать, что имеет 2 распределение с (n-1) числом степеней свободы.
  3. Штамповочный пресс делает отверстия в металлических шайбах. В среднем величина отверстия а=4,00 мм со стандартным отклонением =0,20 мм. Случайная выборка n=25 шайб показала, что средний диаметр мм. На 1% уровне значимости проверить нулевую гипотезу о том, что средняя величина отверстия равна 4,00 мм.
  4. Построить 5% приближенный интервал для неизвестного параметра  распределения Пуассона при ; n=100.
  5. Инвестор считает вложения в активы с дисперсией более 0,04 слишком рискованными. За последние 10 лет выборочная дисперсия (исправленная) доходности актива А составила 0,06. Следует ли делать вложения в актив А, принимая решение на уровне значимости 5%?
скачать

Смотрите также:Экзаменационные вопросы и задачи по курсу математической статистики для экономистов

84.49kb.

1 стр. Элективный курс "Элементы комбинаторики, математической статистики и теории вероятности" предназначен для предпрофильной подготовки

41.37kb.

1 стр. Перечень вопросов по курсу социально-экономической статистики

30.13kb.

1 стр. Лукаш Е. Н. Вопросы и задачи к экзамену Математическая статистика

73.7kb.

1 стр. Экзаменационные вопросы по курсу «Сетевые технологии»

16.81kb.

1 стр. Экзаменационные вопросы по курсу "уравнения математической физики"

31.93kb.

1 стр. Вопросы к экзамену по теории вероятностей и математической статистике

1630.98kb.

3 стр. Вопросы для экзамена по курсу "экономика народонаселения и демографии"

36.5kb.

1 стр. Вопросы к экзамену Предмет и метод, задачи «Финансовой статистики». Важнейшие показатели «Финансовой статистики»

49.51kb.

1 стр. Вопросы к экзамену Предмет и метод, задачи «Финансовой статистики». Важнейшие показатели «Финансовой статистики»

43.14kb.

1 стр. Вопросы к экзамену объект, предмет, задачи экономической и социальной статистики

16.16kb.

1 стр. Экзаменационные вопросы по курсу «Высшая математика, часть 6»

21.4kb.

1 стр.

nenuda.ru

Экзаменационные вопросы и задачи по курсу математической статистики для экономистов

Экзаменационные вопросы и задачи по курсу математической статистики для экономистов.
  1. Генеральная совокупность и выборка. Два варианта интерпретации выборочных значений исследуемой случайной величины. Понятие вариационного ряда, варианты, статистический закон распределения.
  2. Эмпирическая функция распределения и её свойства. Сформулировать и доказать теорему Гливенко о статистической устойчивости функции распределения.
  3. Группировка выборочных данных. Выборочная функция плотности распределения, формулировка теоремы Смирнова. Способ построения, гистограмма.
  4. Основные выборочные характеристики генеральной совокупности и их свойства. Сходимость по вероятности. Сформулировать и доказать свойство статистической устойчивости выборочного среднего и выборочных начальных моментов. Теорема Хинчина.
  5. Доказать, что выборочная дисперсии и выборочные центральные моменты являются состоятельными оценками для соответствующих теоретических моментов ( доказать теорему Слуцкого о сходимости по вероятности непрерывной функции двух аргументов).
  6. Статистические оценки и задача статистического оценивания. Свойства несмещенности, состоятельности и эффективности оценок.
  7. Определение асимптотической нормальности последовательности случайных величин. Асимптотическая нормальность выборочного среднего, эмпирической функции распределения и выборочной дисперсии в случае конечной теоретической дисперсии.
  8. Доказать теорему, что если дисперсия асимптотически несмещенной оценки стремится к нулю при n , то эта оценка состоятельна.
  9. Частное и совместное распределение выборочной средней и выборочной дисперсии в случае нормальной выборки. Теорема Фишера.
  10. Гамма и бета функции, их свойства и связь между ними.
  11. Распределения Пирсона , Стьюдента t(n), Фишера F(m,n), Гамма- и Бета- распределения. Определение. Моменты. Асимптотическая нормальность, пользование таблицами.
  12. Понятие о полиномиальном распределении (аналитическое задание, моменты). Его использование при выводе закона распределения i-ой порядковой статистики вариационного ряда случайной величины, имеющей плотность.
  13. Задача статистического оценивания неизвестных параметров. Мера эффективности оценки. Необходимое и достаточное условие эффективности в регулярном случае. Примеры "сверхэффективных" оценок.
  14. Вывести неравенство информации (Рао- Фреше- Крамера) для класса регулярных распределений. Количество информации о параметре, содержащейся в n независимых наблюдениях.
  15. Метод моментов (общая схема и примеры оценивания). Свойство полученных оценок.
  16. Метод максимального правдоподобия (общая схема и примеры). Функция правдоподобия и её вероятностный смысл. Свойство оценок метода максимального правдоподобия.
  17. Метод наименьших квадратов (постановка задачи, система нормальных уравнений, эквивалентность метода наименьших квадратов задаче об ортогональности системе уравнений для определения неизвестного параметра). Свойство оценок, полученных методом наименьших квадратов (формулировка теоремы Гаусса - Маркова).
  18. Интервальные оценки. Уровень доверия. Общий подход к построению точных интервальных оценок. По выборке из нормальной генеральной совокупности N(а,2) построить точные доверительные интервалы для параметра а при известном и неизвестном 2 и для параметра 2 при известном и неизвестном а.
  19. Имея выборки (х1,х2,...,хn) и (y1,y2,...,ym) из двух нормальных генеральных совокупностей, построить точный доверительный интервал для разности теоретических средних этих совокупностей, в предположении, что они обладают одинаковыми (но неизвестными) дисперсиями.
  20. Общий подход к построению приближенных (асимптотически точных) интервальных оценок. Примеры: биномиальное, пуассоновское и равномерное распределения.
  21. Построить точный и асимптотический (приближенный) доверительный интервал с уровнем доверия 0,95 для дисперсии нормальной генеральной совокупности при неизвестном среднем. Сравнить результаты.
  22. Построить асимптотически приближенный интервал с уровнем доверия 0,95 для параметра пуассоновского распределения с доказательством асимптотической нормальности статистики
  23. Построить точный доверительный интервал с уровнем доверия 1-=0,95 для параметра сдвига показательного распределения со сдвигом.
  24. Определение и общая логическая схема всякого статистического критерия проверки гипотез. Примеры задач, приводящих к необходимости проверке гипотез. Пояснить все эти понятия на примере гипотезы о равенстве дифференциации доходов в двух исследуемых совокупностей семей, полагая, что распределение семей по доходам логарифмически нормально внутри каждой из исследуемых совокупностей.
  25. Критическое множество. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости критерия. Критическая статистика. Пояснить все эти понятия на примере гипотезы о среднем значении нормальной случайной величины при неизвестной дисперсии.
  26. Методы построения критериев. Принцип отношения правдоподобия.
  27. Проверка гипотез и доверительные интервалы. Проверить гипотезы о значениях параметров нормальной генеральной совокупности.
  28. Построить критерий однородности средних значений по независимым выборкам из двух нормальных генеральных совокупностей с одинаковыми ( неизвестными и известными) значениями дисперсии с доказательством t-распределения соответствующих критических статистик.
  29. Построить критерий однородности дисперсии по независимым выборкам из двух нормальных генеральных совокупностей с известными и неизвестными значениями теоретических средних с доказательством F- распределения соответствующей критической статистики.
  30. Статистическая проверка гипотезы о независимости пары нормальных случайных величин на основе выборочного коэффициента корреляции.
  31. Проверка гипотез об общим виде закона распределения наблюдаемой случайной величины. Критерий согласия 2 Пирсона. Формулировка теоремы Фишера.
  32. Критерий согласия Колмогорова - Смирнова. Условия его использования.

Задачи.

  1. Найти эффективную оценку среднего значения нормального распределения.
  2. Найти эффективную оценку параметра пуассоновского распределения.
  3. Найти эффективную оценку параметра показательного распределения со сдвигом.
  4. Найти эффективную оценку параметра p биномиального распределения.
  5. Доказать в случае нормальной генеральной совокупности N(а,2) при известном а , что оценка дисперсии является несмещенной, состоятельной и асимптотически нормальной.
  6. Найти методом моментов параметр  равномерно распределенной на [0;] непрерывной случайной величины.
  7. Методом максимального правдоподобия получить оценку параметра сдвига  для показательного распределения со сдвигом.
  8. Методом максимального правдоподобия оценить параметры равномерного распределения на отрезке [а,b].
  9. Найти оценку максимального правдоподобия для среднего значения нормальной генеральной совокупности при известной дисперсии и доказать её эффективность.
  10. Найти оценку максимального правдоподобия для дисперсии нормальной генеральной совокупности при известном среднем и доказать её эффективность.
  11. Найти методом максимального правдоподобия оценку неизвестной вероятности в схеме Бернулли и доказать её эффективность.
  12. Вычислить математическое ожидание и дисперсию выборочного среднего в терминах первых двух теоретических моментов.
  13. Сравнить эффективность оценок для параметра сдвига показательного распределения со сдвигом, полученных методом моментов и методом максимального правдоподобия.
  14. Найти математическое ожидание выборочной дисперсии .
  15. Вычислить математическое ожидание и дисперсию эмпирической функции распределения Fn(x).
  16. Какой закон распределения имеет величина - выборочная функция распределения.
  17. Будет ли непрерывная функция от несмещенных оценок несмещенной оценкой для той же самой функции неизвестных параметров?
  18. Найти распределение случайной величины где  стандартная нормальная величина.
  19. Вычислить среднее значение, дисперсию и моду для 2 - распределения с n степенями свободы.
  20. Построить 5% приближенный доверительный интервал для значения неизвестной функции распределения F(x) , если Fn(x) =0,5; n=400.
  21. Известно, что в результате отдельного испытания может произойти одно из трех событий: А, В или С. Высказана гипотеза о том, что в средне событие А появляется в два раза чаще , чем событие В: Р(А)=2Р(В). По результатам 8000 независимых испытаний, из которых 5016 закончились наступлением события А, 2024 - наступлением события В, 960 - наступлением события С, проверить верна ли высказанная гипотеза. (Указание: гипотеза имеет вид Р(А)=2а, Р(В)=а, Р(С)=1-3а, где а неизвестный параметр (02).
  22. Пояснить на примере: при уровне значимости =0,05 проверить гипотезу о том, что выборка х1=0,8; x2=1,2; x3=0,5; x4=0,3; x5=1,7; x6=1,3 соответствует равномерному распределению на отрезке [0;2].
  23. При уровне значимости =0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические частоты i и теоретические частоты npi попадания наблюдений в интервалы группирования:
i 6 13 21 23 19 12 6
npi 5 14 16 25 21 13 6
  1. Проведено 4096 повторений опыта с одновременным подбрасыванием 12-ти игральных костей. В таблице указано число выпадения определенного количества граней с цифрой "6":
Число выпадений "6" в одном опыте 0 1 2 3 4 5 6 От 7 до 12
Число случаев 447 1145 1181 796 380 115 24 8
Проверить гипотезу о правильности кости.

^

  1. Задача статистического оценивания параметров. Мера эффективности оценки. Необходимое и достаточное условие эффективности оценки в регулярном случае. Найти эффективную оценку среднего значения нормального распределения.
  2. Для выборки х1,х2,...,хn из нормальной генеральной совокупности с параметрами а и 2 сформулировать и доказать теорему Фишера. Доказать, что имеет 2 распределение с (n-1) числом степеней свободы.
  3. Штамповочный пресс делает отверстия в металлических шайбах. В среднем величина отверстия а=4,00 мм со стандартным отклонением =0,20 мм. Случайная выборка n=25 шайб показала, что средний диаметр мм. На 1% уровне значимости проверить нулевую гипотезу о том, что средняя величина отверстия равна 4,00 мм.
  4. Построить 5% приближенный интервал для неизвестного параметра  распределения Пуассона при ; n=100.
  5. Инвестор считает вложения в активы с дисперсией более 0,04 слишком рискованными. За последние 10 лет выборочная дисперсия (исправленная) доходности актива А составила 0,06. Следует ли делать вложения в актив А, принимая решение на уровне значимости 5%?

edushk.ru