Математизация естествознания, математика – язык науки. Математизация экономики


МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ: ИСТОРИЧЕСКИЙ И МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

share the publication with friends & colleagues

Ш. ДОУ, профессор экономического факультета университета Стирлинга (Великобритания)

За последние сто лет математика заняла важное место в экономической теории, но особенно ее роль возросла в последние годы. Если сравнить современные научные журналы с журналами пятидесятилетней давности, то становится очевидной обширная экспансия математического языка в экономических работах. Согласно Р. Бэкхаузу1 , уровень использования такого языка в статьях крупнейших экономических журналов возрос с 10% в 1930 г. до 75% в 1980 г. Это относится и к учебникам по экономической теории всех уровней сложности.

Математика, таким образом, приобретает все большее значение в изложении экономических идей, что само по себе является очень интересным фактом, особенно с точки зрения понимания и восприятия экономической теории в обществе. Понять и воспринять математически выраженные принципы могут далеко не все; то же самое можно сказать и об экономической науке. Это касается всех социальных групп: от школьников, выбирающих предмет для изучения, до политических деятелей, способных или не способных понять рекомендации экспертов.

Проведенный Г. Грубелем и Л. Боландом2 опрос ведущих экономистов показал, что они обеспокоены увеличением количества математических моделей в теоретических исследованиях и в преподавательском процессе. Но результаты опроса свидетельствовали также и о том, что потребности, возникающие внутри самой экономики как научного знания, обуславливают интенсивное использование математики в экономических работах. Возможно, математическая интерпретация экономических идей является наиболее удобным способом передачи и изложениятех или иных концепций. Однако существует и более фундаментальная проблема, которая сводится к возможному воздействию математической техники на содержание экономической теории.

Согласно одной из точек зрения, экономическая наука переживает сегодня эпоху постоянных технических изменений и нововведений; при этом используются более совершенные статистические методы, благодаря которым достигаются все более качественные результаты. Содержательные изменения в теории с этой точки зрения, несомненно,

1 Backhouse R. E. If Mathematics Is Informal, Then Perhaps We Should Accept That Economics Must Be Informal Too // Economic Journal. 1998. Vol. 108. No 451. P. 1848 - 1858.

2 Grubel H. G., Boland L. A. On the Effective Use of Mathematics in Economics // Kyklos. 1986. Vol. 39. No 3. P. 419 - 442. См. также: Mirowski P. The When, the How and the Why of Mathematical Expression in the History of Economic Analysis // Journal of Economic Perspectives. 1991. Vol. 5. No 1. P. 145 - 158; McCloskey D. N. Rhetoric and Persuasion in Economics. Brighton: Wheatsheaf, 1994. Ch. 9.

стр. 53

играют позитивную роль. Однако из-за так называемой "математизации" в экономической теории перестали рассматриваться феномены, которые не могут быть математически формализованы и которые следует описывать иными, альтернативными методами. Эта проблема является чрезвычайно важной, поскольку затрагивает вопросы о том, что мы понимаем под экономической наукой и каких результатов от нее можно ожидать. Сказанное в конечном счете относится и к общественному восприятию экономической теории.

Математические методы проникают во все сферы хозяйственной жизни. Работа на финансовых рынках (в особенности связанная с торговлей деривативами) все чаще осуществляется при помощи математических моделей. Заслуга экономистов в создании этих моделей подтверждается присуждением Нобелевской премии в области экономики Ф. Блэку и М. Шоулзу за их "злополучную" финансовую модель. В дальнейшем мы не будем заострять свое внимание на прикладной математике и ее связи с экономической жизнью, обращаясь к этим темам лишь для иллюстрации некоторых тезисов.

Математизация экономической теории: исторический аспект

Математические методы обрели особый статус в экономике в позапрошлом веке в преддверии так называемой "маржиналистской революции". В тот период интерес классической политэкономии к производству, экономическому росту и распределению материальных благ (как плодов этого роста) между общественными классами сменился интересом к рыночному обмену. Таким образом, акцент при анализе экономических явлений сместился с уровня народного хозяйства и социальных групп на уровень индивида. Одним из первых, кто стремился математически сформулировать условия успешной рыночной координации, был Л. Вальрас. Вместе с О. Курно он является основоположником систематического применения математики в экономическом анализе.

В то время считалось, что экономическая теория как научная дисциплина должна занять достойное место на одном уровне с естественными (прежде всего физическими) науками3 . Средство для достижения данной цели виделось именно в использовании математики. Подобно тому, как естественные науки строились аксиоматически на основе единиц энергии и т. п., экономическая теория строилась на основе единиц полезности. Основным мотивом индивидов, вовлеченных в процессы рыночного обмена, считалась максимизация полезности, рассматриваемая как решение математической задачи. Вальрас утверждал, что только с помощью математики можно понять сущность экономических явлений. В целом, как нам представляется, под "маржиналистской революцией" следует понимать создание особой науки, в рамках которой

3 См. подробнее: Mirowski P. More Heat than Light: Economics as Social Physics. Physics as Nature's Economics. Cambridge: Cambridge University Press, 1989; Drakopoulos S. Values and Economic Theory. Aldershot: Avebury, 1991.

стр. 54

была проведена успешная математическая интерпретация предельных ("маржинальных") условий рыночного равновесия.

Маржиналисты полагали, что лишь проблемы измерения являются препятствием на пути превращения экономической теории в одну из естественных наук. Главный сторонник использования математики среди английских маржиналистов, У. С. Джевонс, с уверенностью заявлял, что "политическую экономию можно было бы постепенно возвысить до точной науки, если бы коммерческая статистика была гораздо более полной и достоверной, нежели сегодня, дабы можно было при помощи числовых данных придать формулам исчерпывающее значение"4 .

Как измерять полезность? Принципиальная возможность такого измерения оставалась предметом споров. Поэтому в силу очевидных трудностей прикладного характера математическое направление в экономической науке, в отличие от естественных наук, развивалось более успешно на теоретическом, нежели на эмпирическом уровне.

Подобное развитие неизбежно вызывало ответную отрицательную реакцию. Представители Исторической школы в Германии заявляли, что теорию следует выстраивать при помощи индукции, то есть на основе эмпирических закономерностей, а не дедуктивно5 . Поэтому особое внимание уделялось сбору данных, а не теории, будь она математической или какой-либо другой. Теоретики Австрийской школы во главе с К. Менгером выбрали дедуктивный подход, но осознанно избегали математики. В своей работе они делали акцент на динамике экономических процессов, в частности на деятельности предпринимателей, и не рассматривали подробно проблемы рыночного равновесия.

Они считали, что математика не может помочь в подобном анализе, поскольку люди - существа творческие, и их целесообразное поведение нельзя описать в детерминированных категориях. Кроме того, из-за присущего австрийцам субъективизма они полагали, что объективные числовые данные не способны адекватно отразить индивидуальные мотивы, побуждающие к действию. К этой важной мысли о соотношении математики и содержательного экономического анализа мы вернемся позже.

В ту эпоху в Великобритании ведущим исследователем, работы которого оказали влияние на последующее развитие экономической теории, был А. Маршалл. К его основным заслугам следует отнести содействие более широкому распространению экономических знаний и разработку экономической теории как целостной общественной науки. В этом смысле Маршалл стоял "над схваткой" и не участвовал в дебатах между сторонниками "чистой" математики, приверженцами нематематических "чистых" теорий и эмпириками. Очень важно, что в "Принципах экономической науки" математические рассуждения присутствовали только в сносках и приложениях, а аргументация в тексте была изложена исключительно в вербальной форме. Поэтому считается, что Маршалл видел ограниченность математических методов и моделей в экономической науке, и хотя он чаще, чем представители

4 Jevons W. S. The Theory of Political Economy. London: Macmillan, 1871. P. 25.

5 Следует отметить, что массовый интерес к сбору эмпирических данных в США возник именно благодаря работам теоретиков Исторической школы.

стр. 55

Австрийской школы, выстраивал математические теории, но в своем исследовании, подобно австрийцам, делал основной акцент на динамике экономических процессов, а не на равновесии. Кроме того, дедуктивные рассуждения и использование математических понятий он ограничил краткими логическими цепочками, то есть частичным анализом (в этом суть концепции "частичного равновесия" в противоположность теории общего равновесия). В отличие от Вальраса, он не пытался построить завершенную математическую систему.

Дж. М. Кейнс, как и А. Маршалл, по образованию был математиком, но воспринимал математические методы в экономической теории с оговорками, используя их лишь в ограниченной степени. Он говорил, что возможности постичь с их помощью содержательные экономические проблемы весьма скромны, а потому скромным должно быть и их применение в практической работе.

Одним из основных теоретических достижений Кейнса было создание новых исследовательских направлений, открывшее еще одну страницу в истории применения математических методов на практике. Кейнс стоял у истоков современной макроэкономики и разрабатывал политическую стратегию для правительства, в рамках которой теория должна была проверяться и применяться практически. На основе его теоретических конструкций были построены тщательно продуманные математические модели экономической системы, усовершенствованные благодаря достижениям в сфере компьютерных технологий и наличию необходимой эмпирической информации.

По поводу значимости этих агрегированных моделей разразились методологические споры. В частности, М. Фридмен выдвинул дискуссионное положение о том, что единственным критерием при выборе теории должна стать точность получаемых с ее помощью прогнозов6 . Теоретик, по его словам, не должен стараться что-либо объяснить, то есть не следует думать, что теории описывают причинно-следственные механизмы. Форма и масштаб математической репрезентации в экономической теории объявлялись вторичными по отношению к ее предсказательной способности (хотя предполагалось, что прогноз должен основываться на математических моделях определенного типа).

Следует отметить, что на том этапе развития экономико-математического моделирования очень многое в нем было позаимствовано из физики7 , что очевидно в свете дальнейшего развития экономики, в ходе которого усилия ученых сосредоточились на разработке и использовании принципов формальных аксиоматических систем. Макроэкономика представляла собой математически выстроенную совокупность положений, весьма далекую от микроэкономики. Поэтому достижения макроэкономической теории за последние три десятилетия в конечном счете можно рассматривать как попытки интеграции, построения всеобъемлющей системы общего равновесия на основе микроэкономических аксиом поведения потребителей.

6 Фридмен М. Методология позитивной экономической науки // THESIS. 1994. N 4. С. 20 - 52.

7 См.: McCloskey D. N. Rhetoric and Persuasion in Economics. Ch. 1.

стр. 56

Итак, мы видим, что современная экономическая наука в значительной степени подвержена влиянию математических методов. Однако ситуация здесь сложнее. Дело в том, что наличие проблем измерения и более фундаментальных методологических проблем повлекло за собой разделение на "чистую" и прикладную теорию8 . В рамках первой традиционно проводится сложный и изощренный математический анализ индивидуального поведения на основе принципов максимизации полезности, причем особое внимание уделяется доказательствам теорем существования. Важно отметить, что все больше ученых, работающих в области "чистой" теории, исследуют модификации традиционных аксиом рациональности при изучении индивидуального поведения: в рамках теории игр анализируется взаимозависимость действий экономических агентов, а в рамках поведенческой экономики - иные формы рациональности. В то же время прикладная наука сосредоточивается на упрощенных моделях, для которых имеются соответствующие данные. В силу различия целей теоретической и прикладной экономической науки математика, используемая в "чистой" теории, отличается от математики, используемой в статистических исследованиях. Р. Бэкхауз, в частности, пишет, что нередко теоретическая часть исследования отделяется от практической даже в рамках одной научной статьи9 .

Споры вызывают и вопросы о том, насколько проблематично это разделение на теорию и практику и можно ли преодолеть связанные с ним трудности10 . Но следует отметить, что такое разделение имеет смысл только в связи с неоклассическим мэйнстримом в традиции Вальраса. В теориях, восходящих к трудам Менгера, Маршалла и Кейнса, математические методы используются в значительно меньшем масштабе исходя из методологических соображений. Ясно, что это порождает проблемы коммуникации внутри экономической науки, ведь в мэйнстриме математика используется как более удобный способ выражения идей, и более того - как основа исследовательской программы в рамках данного научного направления.

Изложив вкратце историю математизации экономической теории, мы перейдем к методологическим проблемам, связанным с этими процессами.

Значение математики для экономической теории

Математика и формализм

Значение и функции математики в экономике необходимо рассматривать в свете проблемы формализма. Несмотря на то что термины "математическое моделирование" и "формализм" часто используются

8 См. подробнее о развитии теоретической и прикладной математики в экономической науке: Weintraub R. E. How Economics Became a Mathematical Science. Durham, NC: Duke University Press. 2002.

9 См.: Backhouse R. E. If Mathematics Is Informal, Then Perhaps We Should Accept That Economics Must Be Informal Too.

10 См.: Mayer T. Truth versus Precision in Economics. Aldershot: Edward Elgar. 1993; Backhouse R. E. Op. cit.

стр. 57

как взаимозаменяемые11 , доказательство не обязательно должно быть математическим, чтобы считаться формальным12 . Кроме того, недавно была высказана мысль о том, что в отличие от математики теоретический формализм создает более строгие условия для устойчивости значений тех или иных понятий13 . Например, некоторые исследователи продемонстрировали, что значения терминов в математике могут меняться, формализм же неразрывно связан с идеей строгости. Однако научная строгость может сама иметь различные смыслы: скажем, если в начале прошлого века под научной строгостью понималась проверка теории на эмпирических данных, то сейчас она больше связана с математическими аксиомами.

Как было отмечено выше, математический формализм в большей степени используется в теоретической, нежели в прикладной экономической науке. Но зачастую прикладные исследования также носят формальный характер: речь идет об устойчивости значений при анализе тех или иных эмпирических данных. Это позволяет говорить о "фактах" как об объективных, независимых от теории явлениях, значение которых не меняется со временем. Действительно, как пишет Ф. Мировски14 , сам акт измерения с необходимостью влечет за собой использование математических структур. Например, при использовании обычной диаграммы рынка предполагается однородность пространства товаров, которое в действительности не является таковым. Мировски утверждает, что степень этой однородности варьируется в зависимости от изменения общественного восприятия рыночных процессов. В той мере, в какой экономисты рассуждают формалистически, они практикуют общий подход к математике, основанный на логическом позитивизме и используемый как на теоретическом, так и на практическом уровне. В рамках этого подхода можно по-разному использовать математику, в зависимости от типа исследования - работаете ли вы в рамках "чистой" или прикладной науки.

К преимуществам формализма15 можно отнести, во-первых, возможность уточнить известное путем демонстрации того, что может и что не может быть доказано исходя из него. Во-вторых, использование формальных методов облегчает накопление и приращение знаний, поскольку формальные доказательства могут быть с легкостью восприняты следующими поколениями (еще раз обратим внимание на необходимость сохранения устойчивости значений терминов). Кроме того, формализм становится "мотором исследования", его движущей силой; убежденный сторонник математизации экономической теории Ж. Дебрэ так выразил эту мысль: "[Математика] постоянно требует ослабления допущений, усиления выводов, большего обобщения. При-

11 См.: Krugman P. Two Cheers for Formalism // Economic Journal. 1998. Vol. 108. No 451. P. 1829 - 1836.

12 См.: Chick V. On Knowing One's Place: the Role of Formalism in Economics // Economic Journal. 1998. Vol. 108. No 451. P. 1859 - 1869.

13 Backhouse R. E. Op. cit.

14 Mirowski P. The When, the How and the Why of Mathematical Expression in the History of Economic Analysis.

15 См.: Backhouse R. E. Op. cit.

стр. 58

нимая математическую форму, экономическая теория будет вынуждена подчиниться этим требованиям. ...Математика требует простоты"16 .

Однако, как отмечает Бэкхауз, сам процесс математизации может изменить значение экономических понятий. Он ссылается на содержание понятия личного интереса у А. Смита, позднее вошедшего в формальную систему общего равновесия. Социальный смысл этого термина был утрачен при разработке атомистических аксиом неоклассической теории.

Еще один пример. Применение формализма в доказательствах расценивалось в работах К. Эрроу и Ф. Хана как научный прогресс17 . Но можно показать, что теория ожиданий Кейнса, основанная на неопределенности, изменила свое значение, когда ее формализовали в рамках гипотезы о рациональных ожиданиях. При такой формализации акцент Кейнса на риске, не допускающем количественного определения и измерения, был утерян. Р. Лукас тем не менее утверждал, что и это обстоятельство является достижением18 . Мы видим, что преимущества формализма, относящиеся к приумножению знаний, зависят от неизменности значения терминов.

Первое из указанных выше достоинств формализма поясняется словами Хана. Отвергая тезис Дж. Робинсон о том, что математика играет весьма скромную роль в экономической теории, Хан утверждал, что ее доводы выходят за пределы некоторой формальной структуры, - другими словами, в рамках этой структуры невозможно было бы доказать их истинность19 . Таким образом, при формализации и связанном с ней изменении и искажении значений (как в случае личного интереса у Смита или ожиданий у Кейнса) понятия утрачивают нечто важное, что, как считает Хан, не может быть выражено в понятных ему категориях.

Критики математизации исходили из особого понимания предмета экономической теории. С точки зрения методологии их взгляды существенным образом отклоняются от общего направления экономической мысли, в котором математизация является руководящим принципом на пути к построению экономики как науки. Можно ли анализировать предмет естественных наук методами, предлагаемыми в рамках логического позитивизма, - это отдельный вопрос. Однако очевидно, что в случае социальной науки, изучающей людей, которые являются творческими, целеустремленными и общественно активными существами, живущими в постоянно меняющейся институциональной среде, проблема становится еще более острой. Насколько человеческое поведение может соответствовать (пусть и в стохастических терминах) детерминированным принципам? И хотя наиболее сложной эта проблема становится тогда, когда формальные экономические рассуждения

16 Цит. по: Backhouse R. E. Op. cit. P. 1852.

17 Arrow K. J., Hahn F. H. General Competitive Analysis. Edinburgh: Oliver & Boyd, 1971.

18 Lucas R. E. Jr. Methods and Problems in Business Cycle Theory // Journal of Money, Credit and Banking. 1980. No 12. P. 696 - 715.

19 Hahn F. H. Robinson-Hahn Love-Hate Relationship: An Interview // Feiwel G. R. (ed.) Joan Robinson and Modern Economic Theory. L.: Macmillan, 1989.

стр. 59

касаются глубоко личных вопросов, таких, как, например, семейная жизнь человека20 , она актуальна и в случае любой человеческой деятельности, имеющей экономическое содержание.

Рассуждая в духе работ Кейнса, В. Чик утверждает, что реальная экономика - это открытая и органическая система и ее нельзя адекватно исследовать, используя средства, предназначенные для изучения закрытых, формально описанных систем21 . Кроме того, если исходить из математических принципов теории общего равновесия, то исследуемая система с необходимостью будет закрытой, а связи между предметами анализа окажутся детерминированными, то есть эти принципы влекут за собой атомизм22 .

Если формализм в смысле строгости, точности и четкости рассуждений является неотъемлемой частью науки, то формализм в смысле математического выражения этих рассуждений таковой не является. Одним из достоинств математики является точность. Однако Кейнс вслед за Маршаллом отметил также положительные свойства "расплывчатости": "Как мне кажется, современная экономическая теория сильно страдает оттого, что она пытается применить весьма точные, математические методы к материалу, который слишком расплывчат для такого с ним обращения"23 .

В пользу правоты этих слов свидетельствует судьба теории Блэка и Шоулза. В математических моделях риска на финансовых рынках предполагается, что все риски измеряемы. Но финансовый кризис, из-за которого система Блэка и Шоулза оказалась несостоятельной, не поддавался анализу в терминах плотностей распределения вероятностей (при этом он не был и абсолютно случаен), таким образом выходя за рамки их модели.

При обсуждении формализма следует обратить внимание на общие вопросы о том, насколько в исследовании функционирования экономики допустимы формальные методы, использование которых позволительно при изучении закрытых, "атомарных" систем, и о том, как следует анализировать те аспекты экономической деятельности, которые нельзя описать в терминах таких систем.

Настроенные формалистически представители "чистой" теории не считают первый из этих вопросов проблематичным, а значит, не считают таковым и второй. Движущая сила их исследований - непрерывная математизация. Они могут даже со всей откровенностью допустить отсутствие связи их построений с реальным миром24 . Но для "практикующих" формалистов (особенно в случае применения теории к анализу рыночных процессов, например, в работах Блэка и

20 См.: Becker G. A Treatise on the Family. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1991.

21 Chick V. On Knowing One's Place: the Role of Formalism in Economics.

22 Набор условий для характеристики открытых и закрытых систем определен в работе: Chick V., Dow S. C. The Meaning of Open Systems // Journal of Economic Methodology. 2005. Vol. 12. No 3. P. 363 - 382.

23 Цит. по: Chick V. Op. cit. P. 1864.

24 См., например: Hahn F. H. On the Notion of Equilibrium in Economics. Cambridge: Cambridge University Press, 1973.

стр. 60

Шоулза) поставленные нами вопросы весьма актуальны. Постоянно делаются попытки увеличить степень реалистичности моделей в тех рамках, которые задаются формальным анализом. На деле формальное исследование внутри "официального дискурса" дополняется неформальными методами при "неофициальном дискурсе", остающемся непризнанным в силу своего несоответствия принципам, которые разделяет большинство ученых25 . Ограниченность формализма удачнее всего показана экономистами, его отвергающими, применение же иных методов исследования обосновывается ими с точки зрения природы изучаемого объекта.

Критики математического формализма исследуют возможности использования иных методов при изучении экономических систем. Поскольку в этом контексте методологическое исследование должно начинаться с логических аспектов теории, мы перейдем к рассмотрению данного вопроса в свете различных подходов к логике.

Математика и логика

Известный исследователь творчества Кейнса Р. О'Доннелл показал, что Кейнс в своих взглядах на роль математики в экономической теории исходил из созданной им концепции логики. О'Доннелл, в частности, пишет: "Основополагающим для философии Кейнса является неизменно присутствующее во всех его работах положение о том, что качественный, логический анализпредшествует количественному, или математическому, анализу и определяет степень и масштабы его применения. Если этот принцип переделать в лозунг, он будет выглядеть так: "Сначала логика, затем, если необходимо, математика". Логика в философии Кейнса в конечном счете основана на использовании непосредственного суждения или интуиции"26 .

В первой крупной работе Кейнса "Трактат о вероятности"27 обсуждаются проблемы индуктивного метода. Кейнс критиковал проект Рассела и Уайтхеда по построению математической логики на рационалистической основе. Его интересовало то, каким образом и на каком основании человек может с уверенностью утверждать, произойдет то или иное событие или нет. При этом рассуждения строились на весьма общем уровне, то есть предполагалось, что условия, гарантирующие полную определенность рассматриваемой ситуации, отсутствуют. Определенность для Кейнса была особым, частным случаем, возможным только в рамках закрытой атомарной структуры (в математике или в реальности), то есть таким случаем, при котором допустимо применение классической логики.

Следовательно, по Кейнсу, для успешного применения математики на основе классической логики каждый раз требуется обоснование

25 См.: McCloskey D. N. The Rhetoric of Economics // Journal of Economic Literature. 1983. Vol. 21. No 2. P. 481 - 517.

26 O'Donnell R. M. Keynes's Philosophy, Economics and Politics. L.: Macmillan, 1989. P. 35.

27 Keynes J. M. A Treatise on Probability. Collected Writings. Vol. VIII. L.: Macmillan, for the Royal Economic Society. 1973.

стр. 61

с точки зрения степени соответствия того или иного случая закрытой, атомарной структуре. Кейнс считал правильным использование математической терминологии в качестве вспомогательного средства для размышлений, но утверждал, что на экономисте лежит бремя доказательства необходимости ее применения и соответствия таких методов предмету исследования28 .

В контексте логических оснований использования математики важно упомянуть и об аксиоматическом методе. Аксиоматизация - это разновидность формализма, основанная на классической логике и характерная для формалистического подхода к построению "чистой" экономической теории. Соответствие между теорией и реальностью появляется только на уровне аксиом и теорем, выведенных из аксиом в результате применения дедуктивной логики. Среди экономистов было немало споров о реалистичности аксиом29 ; в этой связи интересно также рассмотреть логическую структуру, находящуюся "между" аксиомами и их проверкой. Кейнс утверждал, что перед лицом фундаментальной неопределенности нам приходится пользоваться обычной или "человеческой" логикой30 . Такая логика, в отличие от классической, не является наглядной. Она включает в себя построение доказательств и накопление косвенного, неявного знания. Но поскольку этого, вообще говоря, недостаточно, чтобы обосновать конкретные действия, мы дополняем логическое знание конвенциями, интуицией или воображением31 .

Это означает, что методология экономической науки опирается на самые разные средства познания, причем некоторые из них не связаны с математикой. Если бы все методы были математическими и были бы построены на основе классической логики, то они оказались бы сопоставимы и смогли бы стать частью единой математической системы. Но методы в целом несоизмеримы и несопоставимы, а для того чтобы сконструировать некоторую "рабочую" модель, необходимо прибегнуть к помощи вербальных рассуждений.

Кейнс довольно точно определил опасные моменты, связанные с математизацией экономической теории: "Серьезный недостаток символических, псевдоматематических методов формализации анализа экономических систем, - писал он, - состоит в том, что они в явном виде предполагают строгую независимость между используемыми факторами ...; в то время как в обычных рассуждениях ...мы можем "подразумевать" наличие необходимых ресурсов и знаний .. .мы не способны

28 Подробнее см.: Dow S. C. The Appeal of Neo-classical Economics // Cambridge Journal of Economics. 1995. Vol. 6. No 19. P. 715 - 735; Dow S. C. Keynes, the Post Keynesians and Methodology // Dow S. C., Hillard J. (eds.) Post Keynesian Econometrics, Microeconomics and the Theory of the Firm: Beyond Keynes. Vol. I. Cheltenham: Edward Elgar, 2002.

29 См., например: Hausman D. The Inexact and Separate Science of Economics. Cambridge: Cambridge University Press, 1992. О проблемах эмпирической проверки аксиом будет сказано ниже.

30 По всей видимости, есть нечто общее между этой "человеческой" и интуитивной логикой (См.: Tennant N. Anti-realism and Logic: Truth as Eternal. Oxford: Clarendon, 1987).

31 Во взглядах Кейнса можно увидеть много общего с идеями Д. Юма.

стр. 62

"подразумевать" сложные частные производные, написанные несколькими страницами ранее в ходе наших алгебраических выкладок"32 .

В качестве альтернативы в этой ситуации остаются возможности для исследования математических методов, не основанных на классической логике. Так, исследования в области нечеткой математики касаются некоторых вопросов теории открытых систем. Математические построения в теории хаоса на протяжении некоторого времени привлекали к себе внимание, поскольку допускали формальный анализ поведения неравновесных систем. Но эта теория оказалась несостоятельной с прикладной точки зрения, поскольку предлагала лишь "хаотическую" альтернативу стабильности. Более перспективными для экономической теории могли бы стать математические методы, используемые при анализе самоорганизующихся систем в химии33 , поскольку они адекватно отражают то, каким образом социальные системы приспосабливаются к возникающей внутри них частичной нестабильности34 .

Применимы в социальных науках и другие математические теории, построенные без использования классической логики. Но поскольку подобные рассуждения касаются прежде всего математики открытых систем, мы никогда не сможем окончательно разрешить возникающие в этой связи экономико-методологические трудности. Если предмет изучения экономической теории постоянно развивается, если человеку свойственно творческое целеполагание, то неопределенность будет неизбежна, причем как в работе экономиста, так и в деятельности экономических агентов.

Мнения по этому вопросу разделились. Если, например, Ф. Андерсон и другие ученые отстаивают необходимость использования математических методов в исследовании сложных систем35 , то В. Чик отмечает, что "в сложной системе результаты, полученные путем детального изучения определенных ее аспектов, не могут распространяться на весь предмет исследования ... Чем сложнее система, тем меньше мы знаем о всех происходящих в ней процессах. Ни действия агентов внутри системы, ни изучение ее извне не могут основываться на полной информации. Совершенное знание недостижимо"36 .

Итак, основным предметом данной дискуссии являются теория и используемая в ней логика. Но дебаты о роли математических методов в экономической науке часто касаются проверки адекватности экономических положений. Речь идет о построении и использовании эконометрики. Рассмотрим в этой связи некоторые проблемы, относящиеся к эконометрическим подходам.

32 Цит. по: Chick V. On Knowing One's Place: the Role of Formalism in Economics. P. 1864.

33 См.: Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой. М.: УРСС, 2003.

34 См.: Chick V. Order out of Chaos in Economics? Some Lessons from the Philosophy of Science // Dow S. C., Hillard J. (eds.) Keynes, Knowledge and Uncertainty. Aldershot: Edward Elgar, 1995.

35 Anderson P. W., Arrow K. J., Pines D. The Economy as an Evolving Complex System. Redwood City, CA: Addison-Wesley, 1988.

36 Chick V. On Knowing One's Place: the Role of Formalism in Economics. P. 1863.

стр. 63

Математика и эконометрика

Эконометрикой называется набор статистических методов тестирования экономических теорий. Кроме того, она все чаще служит средством (наглядного) представления научных "фактов".

Мы уже говорили о трудностях, с которыми сталкиваются теоретики при выявлении эмпирических аналогов для таких понятий, как полезность. Множество исследователей уходили от данной проблемы; в этом заключалось предлагаемое ими решение. Одним из примеров такого "решения" служит теория спроса. Несмотря на то что невозможно было непосредственно проверить правильность изощренных математических рассуждений, основанных на отрицательной зависимости между ценой и объемом спроса, свидетельства в пользу подобной зависимости рассматривались как справедливое, хотя и не допускающее количественного определения обоснование этих рассуждений (в таком ключе выстроена теория выявленных предпочтений Самуэльсона).

Равным образом, при тестировании макроэкономических взаимосвязей предполагались существование и единственность общего равновесия, а тот факт, который невозможно было протестировать непосредственно, - наблюдаемую относительную стабильность различных экономических систем, - принимали в качестве обоснования самой концепции равновесия.

Некоторые эконометрические модели были скрупулезно разработаны и тщательно продуманы. Они включали сотни уравнений, отражавших взаимосвязи между различными секторами экономики. В таких моделях и поныне используются только идентифицируемые и измеримые переменные. Эти "большие" системы уравнений уже устарели (что особенно заметно в свете их низкой прогностической способности), уступив место более частным моделям, узким по тематике. Тестирование уравнений на сегодняшний день представляет собой оценку зависимостей, представленных в более или менее редуцированной форме. Как было отмечено выше, предполагается, что исследуемая структура отношений стабильна на протяжении периода оценивания.

Кейнс утверждал, что и эконометристы должны обосновать применение математико-статистических методов с точки зрения особенностей предмета исследования. Он говорил, что поскольку экономическая структура в целом находится в постоянном развитии, эконометрические модели, вообще говоря, неприменимы37 . Его логика была основана на том, что при анализе социальных систем невозможно вычислить те или иные вероятности, а потому вероятность следует изучать в более общей и более адекватной форме.

В действительности эконометрика не является полностью формальной наукой, хотя были попытки формализовать процесс тестирования38 . Дело в том, что при отборе данных и проверяемых соотношений ученые, использующие эконометрику, опираются на множество

37 Этот тезис сейчас наиболее убедительно отстаивает Т. Лоусон (см.: Lawson T. Economics and Reality. L.: Routledge, 1997).

38 См.: Backhouse R. E. Op. cit.

стр. 64

дополнительных рассуждений39 . Тем не менее формальным результатам эконометрического анализа придается огромное значение, а неформальные исходные данные остаются вне поля зрения.

Целью прикладных экономических исследований, как известно, является получение выводов, на основе которых могла бы формулироваться стратегия экономической политики. До тех пор, пока при использовании математических средств "за кадром" остаются любые идеи, которые нельзя выразить математически, применение таких моделей при выборе политики вряд ли окажется плодотворным. Конечно, все теории должны от чего-то абстрагироваться, но является ли тот тип абстракции, который необходим при работе с математическими понятиями, наиболее корректным? Это сложный и противоречивый вопрос, вызывавший множество споров. Многое зависит от того, рассматриваются ли выводы, полученные из математической модели и ее эмпирической оценки, как окончательные или только как частные результаты, которые следует рассматривать вместе с другими видами знания, полученными при помощи иных методов.

Математика и общественное восприятие экономической теории

Политические деятели

Математическое обоснование экономической политики было наиболее распространено в эпоху расцвета макроэкономических эконометрических моделей. Некоторое время назад правительство Великобритании консультировалось по вопросам экономической политики с "семью мудрецами", большая часть которых опиралась на ту или иную макроэконометрическую модель. "Прогнозная сила" каждой из моделей обсуждалась публично. Скажем, управление денежной массой находится на сегодняшний день в ведении Независимого комитета по кредитно-денежной политике Банка Англии; протоколы его ежемесячных совещаний публикуются. Вклад сотрудников банка в создание основ для математических моделей, как говорится в ежеквартальном банковском бюллетене, весьма значителен. В 1999 году Банк издал книгу, в которой описаны природа математических моделей и особенности их использования40 .

Возможно, наиболее важным аспектом восприятия экономической теории политическими деятелями является понимание природы экономико-математических моделей и их общей прогнозной силы. Если считать, что при прочих равных условиях экономическая структура общества за период оценивания той или иной модели не изменилась и никаких экзогенных шоков не наблюдалось, то можно подумать, что математические модели научны и являются наилучшей основой для построения прогнозов. Такие модели имеют много общего с ри-

39 Подробнее см.: Hendry D. F. Econometrics: Alchemy or Science? 2nd Edition. Oxford: Oxford University Press, 2001.

40 Economic Models at the Bank of England / Bank of England. L., 1999.

стр. 65

торикой и отвечают стремлениям уравнять в правах экономическую теорию и естественные науки.

"Крупные" модели со множеством уравнений, которые разрабатывались в 1980-х годах, прогнозировали плохо. Даже несмотря на то, что они не были сложными с формальной точки зрения (в смысле допущения сложных, разветвленных взаимодействий между агентами), масштабность построений делала эти модели громоздкими. Уитли объясняет, почему Банк Англии уделяет особое внимание созданию многочисленных конкретных, частных моделей41 . Политика банка основана на прогнозе инфляции, в котором объединяются предсказания, сделанные на основе различных моделей.

Такая структура, как банк, собирает информацию, значительная часть которой остается "туманной": состояние рынков, склонность к инновациям, настроения профсоюзных организаций в государственном секторе и т. д. Однако эти аспекты являются ключевыми для любого прогноза инфляции. Например, данные исследований и опросов, проводимых региональными агентами банка, учитываются при принятии решений Комитетом по кредитно-денежной политике наравне с формальным прогнозированием и используются для проверки состоятельности теоретических прогнозов. Таким образом, если в прогнозе инфляции в форме "официальной риторики" соответствующие вероятности выражаются количественно, то в рамках "неофициальной риторики" объединяются те элементы оценок, которые недоступны количественному определению, но неизбежны в связи с особенностью предмета исследования.

Восприятие экономической теории обществом в целом

Неудивительно, что общество по-разному воспринимает экономическую науку. Кто-то считает, что она объективна, а кто-то полагает, что ей недостает точности. Существует множество избитых анекдотов на эту тему. Поскольку официальная риторика подразумевает определенную степень "научности", которая на практике оказывается недостижимой, экономическая теория не оправдывает ожиданий. Экономисты считают, что их неправильно поняли, ссылаясь на то, что экономическая система слишком сложна, чтобы делать идеально точные прогнозы ее функционирования; различия во мнениях неизбежны. Однако общество хочет, чтобы экономисты пришли к единой точке зрения по поводу декларируемых от лица науки выводов, подобно тому, как это сделали физики. Нам представляется, что растущее непонимание экономической теории со стороны общества напрямую связано с ее усиленной математизацией.

Несколько иной точки зрения по этому вопросу придерживается в своей важной статье известный экономист П. Кругман42 . Он утверждает, что формализация доказательств, например в рамках бух-

41 Whitley J. Economic Models and Policy-Making // Bank of England Quarterly Bulletin. 1997. Vol. 37. No 2. P. 163 - 171.

42 Krugman P. Two Cheers for Formalism // Economic Journal. 1998. Vol. 108. No 451. P. 1829 - 1836.

стр. 66

галтерского дела, дает полезные результаты, которые, по-видимому, не являются понятными на интуитивном уровне и недоступны для обывателя. На самом деле, по его словам, экономика только выигрывает от помощи со стороны математики. Но и он говорит о том, что экономисты должны уделять больше внимания "переводу" результатов своих математизированных теорий на простой язык с целью более понятного объяснения их обществу.

Экономико-математические методы в студенческой среде

Особенно интересной социальной группой в плане восприятия экономических идей являются нынешние и будущие студенты-экономисты. В США были проведены масштабные исследования, сосредоточенные на преподавании экономической теории и касающиеся роли математики. Изучение образовательных программ как для студентов, так и для аспирантов, показало, что математизация экономической науки - вполне осознанный процесс43 . Исследователи отмечают, что уровень знаний математики у начинающих студентов не соответствует требованиям, предъявляемым при изучении экономической теории. Говорится и о недовольстве студентов тем, что они занимаются формальными методами в ущерб анализу действительности, а также о беспокойстве сотрудников высших учебных заведений по поводу того, что студентам даются слишком узкие знания для будущей профессии.

В Великобритании вопрос о настроениях студентов-экономистов начали изучать относительно недавно. В 1999 г. в бюллетене Королевского экономического общества были приведены результаты исследования поведения отличников. Согласно результатам этого исследования, школьники с математическими способностями чаще выбирают в качестве предмета изучения в университете экономику, чем гуманитарные науки, однако не чаще, чем естественные науки. Но в целом эта проблематика изучалась недостаточно активно. В Великобритании, в отличие от США, содержание курса и методика преподавания контролируются, но не являются в полной мере прозрачными. Например, Совет по экономическим и социальным исследованиям контролирует материальное обеспечение выпускников и может влиять на качество образовательных программ, присуждая студентам награды. В университетах существует система контроля, благодаря которой можно следить за тем, как и что преподается на занятиях по экономической теории. Но пока на эту тему не было публичной полемики.

43 См.: Colander D. C., Klamer A. The Making of an Economist // Journal of Economic Perspectives. 1987. Vol. 1. No 2. P. 95 - 113; Krueger A. O. et al. Report of the Commission on Graduate Education in Economics // Journal of Economic Literature. 1991. Vol. 29. No 3. P. 1035 - 1053; Hansen W. L. The Education and Training of Economics Doctorates // Journal of Economic Literature. 1991. Vol. 29. No 1. P. 1054 - 1087; Kasper H. et al. The Education of Economists: From Undergraduate to Graduate Study // Journal of Economic Literature. 1991. Vol. 29. No 3. P. 1088 - 1109.

стр. 67

Примеры использования математики в экономической теории

Для иллюстрации того, как применяются математические методы в экономической теории и какие содержательные результаты формулируются с их помощью, мы приведем здесь несколько примеров и укажем на возникающие в ходе таких исследований проблемы.

Образование и экономический рост

Традиционная неоклассическая теория экономического роста строится на "микрооснованиях", полученных из аксиом оптимального поведения индивидов и фирм. В рамках этой теории в редуцированной форме строятся математические соотношения между производственными факторами - трудом и капиталом - и агрегированным показателем дохода. При заданном темпе роста населения (и, соответственно, предложения труда), а также при заданном технологическом уровне производства повышение темпа роста дохода может произойти только благодаря увеличению запасов капитала. Эта теория подвергалась эмпирической проверке, в ходе которой оценивались коэффициенты, характеризующие указанные соотношения, и проверялось их соответствие реальным показателям экономического роста.

Исследователи обнаружили, что состояние технологии является существенным параметром с эмпирической точки зрения (то есть труд и капитал не объясняют в полной мере наличие тех или иных темпов роста). Оказалось, что особое внимание при этом следует уделять технологическому прогрессу, который раньше рассматривался как экзогенный фактор по отношению к закрытой, формальной экономико-математической модели. Другими словами, в силу требований математической "выразимости" и удобства формального рассмотрения те стороны экономической системы, которые было трудно выразить количественно, измерить и представить в детерминированной форме, исключались из анализа.

С недавних пор акцент в теории роста сместился от попыток эндогенизировать технический прогресс в целом (то есть без учета капитала и труда как производственных факторов) к анализу других важных показателей, таких, как производительность труда. Эту традицию следовало бы назвать "постнеоклассической" теорией эндогенного роста, которой, в частности, придерживался министр финансов Великобритании Г. Браун44 . Важность экономической политики, проводимой на основе этой теории, заключается в том, что хотя технологический прогресс в долгосрочной перспективе доступен для всех государств45 , производительность труда зависит от качества экономической политики, поэтому показатели роста в разных экономиках будут отличаться.

44 Обзор литературы см. в: Aghion P., Howitt P. Endogenous Growth Theory. Cambridge, MA: MIT Press, 1998.

45 Это означало бы, в частности, что в ходе глобализации технологических инноваций показатели экономического роста во всех странах "сойдутся" - произойдет так называемая конвергенция.

стр. 68

Таким образом, оценка относительных преимуществ двух подходов опирается на эмпирические сведения о том, сходятся ли показатели роста в разных странах или нет. Тот факт, что ученые не пришли к согласию по этому вопросу, доказывает наличие внутренних сложностей, присущих эмпирическому тестированию в экономике.

Согласно подходу теории эндогенного экономического роста, производительность труда может увеличиваться благодаря "обучению во время работы" (learning-by-doing), которое выступает как побочный результат занятости, или благодаря обучению вне работы. Было создано несколько математических моделей, которые можно объединить вокруг идеи о том, что образование дает единократный импульс к увеличению производительности труда и повышению темпа экономического роста, или идеи о том, что оно увеличивает способности к усвоению и применению технологических новаций в производственном процессе. Целью этих моделей является определение оптимального уровня издержек на образование для достижения максимального показателя темпов экономического роста.

В рамках данной теории приходится вводить определенные предпосылки. Так, например, в модели Лукаса образование трактуется как индивидуальное решение об инвестировании46 . Время, потраченное на образование, - это время, в течение которого человек не работает (согласно принципу: расходы на накопление капитала сокращают расходы на потребление). Образование ведет к одинаковому увеличению производительности во всех отраслях. Решение человека вложить свой "капитал" в образование основано на его межвременных предпочтениях и на характерной для него степени несклонности к риску, однако в силу того, что данные показатели трудно вычислить в агрегированной форме, при практическом применении учитываются более простые переменные.

В других моделях ученые пытались увеличить степень реалистичности по сравнению с концепцией Лукаса, допуская, например, уменьшающуюся отдачу от образования, взаимодействие с факторами технологического прогресса и неравные уровни образования у разных работников, что вело к неизбежному усложнению математических моделей. Возникавшие при этом трудности измерения свидетельствовали о невозможности эмпирической оценки предлагавшихся уточнений. Ф. Агьон и П. Хауитт отмечают, что "формальной теории недостает четкости понятий. Важнейший вопрос заключается в значении параметров, а не в их измерении. Только когда теория четко определит смысл используемых понятийных категорий, мы сможем их точно измерить"47 .

Иными словами, теория должна быть формальной с самого начала. Когда значения терминов устоялись, теорию можно проверять при помощи фактов, которые могут быть оценены и измерены, поскольку у нас есть четкие определения. За пределами формальной математической модели анализ проводиться не может.

46 Lucas R. E. Jr. On the Mechanics of Economic Development // Journal of Monetary Economics. 1988. Vol. 22. No 1. P. 3 - 42.

47 Aghion P., Howitt P. Endogenous Growth Theory. P. 435.

стр. 69

Однако даже если бы значения терминов были ясными и отчетливыми, принципы измерения не стали бы понятнее и обоснованнее. Существует более общий вопрос о возможности сопоставления различных концепций при помощи эконометрических методов. В качестве альтернативы неоклассическим теориям, в основе которых лежит формальная модель, предшествующая эконометрическому анализу, предлагаются концепции эндогенного роста. Но так как в задачу эконометрики входит прежде всего применение корреляционного анализа к теоретическим соотношениям, выраженным в редуцированной форме, в которой число переменных такое же, как и в неоклассической теории, то совершенно непонятно, как здесь можно различать теоретические подходы и сопоставлять их.

Корифей неоклассики Р. Солоу утверждает, что его трактовка технического прогресса как экзогенного фактора предполагает, что этот показатель поддается анализу (его собственная модель в этом контексте решает частные, а не общие задачи) и что при изучении технического прогресса должна учитываться неопределенность, связанная с инновационным процессом, которая не выражается в количественных терминах48 . Он считает, что формулировать рабочие гипотезы на основе конкретных примеров более перспективно, нежели, следуя за теоретиками эндогенного роста, начинать свой анализ с поведения репрезентативного агента, который оптимизирует некоторую целевую функцию в соответствии со своими межвременными предпочтениями.

Теории эндогенного роста конструируются при помощи агрегированных показателей и рассматривают агрегированного "типичного" индивида (например, характеризующегося определенным значением коэффициента несклонности к риску). Выводы в этих теориях базируются на микроэкономических постулатах рационального (оптимизирующего) поведения. Рассмотрим анализ такого поведения отдельно, не связывая его с проблемами экономического роста.

Образование и доход

Микроэкономическая составляющая теории эндогенного роста включает в себя анализ индивидуальных решений о том, какой уровень образования получать49 . Этот выбор основан на оценке дохода, упущенного за период получения образования относительно его увеличения, которое принесет это образование, то есть речь идет о вычислении приведенной стоимости. Ориентиром является долгосрочное равновесие, при котором спрос и предложение на рабочую силу при каждом уровне образования уравниваются таким образом, что ни один работник не пожелает этот уровень изменить. Для каждого работника

48 Solow R. M. Perspectives in Growth Theory // Journal of Economic Perspectives. 1994. Vol. 8. No 1. P. 45 - 54.

49 См. классический источник: Mincer J. Schooling, Experience, and Earnings. NY and L.: Columbia University Press for NBER, 1974. По поводу литературы см.: Willis R. J. Wage Determinants: A Survey and Reinterpretation of Human Capital Earnings Functions // Ashenfelter O., Layard R. (eds.) Handbook of Labor Economics. Vol. 1. Amsterdam: Elsevier, 1986.

стр. 70

в равновесии приведенная стоимость образования обеспечивает такую же отдачу, как и альтернативные вложения.

Эта теория разрабатывается математически с точки зрения стандартной индивидуальной оптимизации, и хотя в эмпирических исследованиях используются другие термины, тем не менее в них развиваются многие предпосылки, изложенные в теоретической литературе. Так, например, Р. Уиллис кладет в основу своего анализа функцию дохода, в соответствии с которой доход зависит от срока образования и рабочего стажа за время жизни50 . Применение такой функциональной формы диктуется статистическими, а не теоретическими соображениями. Остаточный член соответствующей регрессии имел нулевое математическое ожидание, так что в среднем доход индивида полностью "объясняется" временем, потраченным на образование и работу. Наряду со всеми предпосылками об использовании этих двух переменных, предполагается также, что выборочные данные о населении берутся в состоянии долгосрочного равновесия. Уиллис описывает развитие этой теории как постепенное ослабление предпосылок и взаимодействие между теоретическими формулировками и статистическими оценками. Это взаимодействие носит преимущественно позитивный, а не критический характер, так как ограничения статистического анализа описываемых феноменов весьма значительны. Вывод состоит в том, что, согласно эмпирическим исследованиям, наиболее перспективен подход к изучению индивидуального выбора уровня образования с точки зрения инвестиций в человеческий капитал (такой же подход лежит в основе теории эндогенного роста).

Однако следует сделать две важные оговорки о сущности теории человеческого капитала. Во-первых, теория рационального выбора почти неприменима к исследованию неравновесных ситуаций; если все агенты действуют рациональным образом, то как ввести в анализ их возможные ошибки? Для этого приходится предполагать наличие у агентов доступной информации, при использовании которой ошибки носят случайный характер. Тот факт, что такая ситуация редко встречается на практике, заставляет серьезно задуматься о проблеме интерпретации данных.

Во-вторых, эмпирический анализ по сути своей основан на выявлении корреляционных зависимостей и, таким образом, ничего не говорит нам о причинно-следственных отношениях. В действительности результаты эмпирических исследований хорошо объясняют особенности поведения различных когорт работников. Но совсем не обязательно выстраивать теорию человеческого капитала, пользуясь абстрактными математическими моделями.

Заключение

Мы проанализировали, насколько расширилось использование математики в экономической теории, а также рассмотрели возникшие в связи с этим проблемы, которые существуют на разных уровнях -

50 Willis R. J. Op. cit. P. 529.

стр. 71

как в сфере коммуникации между экономистами, так и в области передачи и распространения экономико-математических идей в обществе. Но проблему коммуникации не решить без выработки общего взгляда на природу, предмет и границы экономической теории. Поэтому существует более фундаментальный вопрос о том, изменились ли, и каким образом изменились, методологические "параметры" нашей науки в результате математизации.

Благодаря математике в экономической теории, вне всякого сомнения, были осуществлены важные открытия. Однако из-за сложности сочетания теоретической и прикладной ее составляющих они разошлись, и каждое из направлений начало развиваться своим путем. Несмотря на это, внутри них существуют общие элементы (предпосылка о равновесном состоянии, устойчивость значений терминов и объектов измерения и т. д.), которые составляют основу для применения математики, но в то же время остаются противоречивыми. Многое сводится к вопросу о том, насколько в изучении сложных социальных структур возможно применение математических методов анализа, характерных для естественных наук.

Эти вопросы не перестают быть важными как для теоретических дискуссий, так и на политической арене, а также с точки зрения общественного восприятия экономической науки.

Перевод с английского В. Соколова

© libmonster.ru

Permanent link to this publication:

http://libmonster.ru/m/articles/view/МАТЕМАТИКА-В-ЭКОНОМИЧЕСКОЙ-ТЕОРИИ-ИСТОРИЧЕСКИЙ-И-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ-АНАЛИЗ Similar publications: LRussiaLWorldY G

Publisher:

Elena Cheremushkina → Contacts and other materials (articles, photo, files etc)

Author's official page at Libmonster: http://libmonster.ru/Cheremushkina

Find other author's materials at: Libmonster (all the World) • Google • Yandex

Permanent link for scientific papers (for citations):

Ш. ДОУ, МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ: ИСТОРИЧЕСКИЙ И МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ // Moscow: Russian Libmonster (LIBMONSTER.RU). Updated: 17.09.2015. URL: http://libmonster.ru/m/articles/view/МАТЕМАТИКА-В-ЭКОНОМИЧЕСКОЙ-ТЕОРИИ-ИСТОРИЧЕСКИЙ-И-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ-АНАЛИЗ (date of access: 20.02.2018).

Publication author(s) - Ш. ДОУ:

Ш. ДОУ → other publications, search: Libmonster Russia • Libmonster World • Google • Yandex

libmonster.ru

Статья: Математические методы в экономической науке: эволюция и перспективы

"Экономический анализ: теория и практика", 2009, N 23МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ НАУКЕ:ЭВОЛЮЦИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫВ работе рассматриваются процесс эволюции и перспективы математического метода в экономической науке, связанные с новым направлением - экономической синергетикой. Развитие этого направления требует новейшего математического инструментария. В статье дается авторская классификация соответствующих математических методов, анализируются преимущества и недостатки формализма в экономической теории.ВведениеСтановление, развитие и нынешнее состояние экономической теории - это процесс и результат борьбы идей разнонаправленных научных школ, объектом исследования которых является экономика, составляющая материальную основу общества.Изначально экономическая теория, подобно физике, раскрывающей законы природы, претендовала на роль фундаментального, универсального знания, раскрывающего общие закономерности экономического роста и развития, и в кризисные и переходные состояния общества стремилась выйти на новый уровень познания хозяйственной системы, найти новые методологические подходы к решению текущих и перспективных, теоретических и практических задач.Но объект изучения физики и многих других наук достаточно статичен по сравнению с экономикой, отличающейся высокой степенью изменчивости, неопределенности, сложности. Поэтому на сегодняшний день экономическая теория представляет собой разнообразие направлений и школ, каждая из которых дает свое видение реальности и свои рецепты решения проблем. Говоря словами О.И. Ананьина, сегодняшняя экономическая фрагментированная наука во многом утратила и интерес, и способность к анализу ключевых экономических проблем и тенденций развития современных обществ [2, 145]. Это признак того, что экономическая теория находится в кризисе.О таком состоянии экономической теории говорят многие выдающиеся представители экономической науки: В. Леонтьев (чрезмерная математизация, формализация в ущерб качественному анализу), Р. Коуз (современная экономическая теория - теория "классной доски"), Дж. Стиглиц (упрощенные модели рыночной экономики привели к неудачным реформам в постсоветских странах), В.М. Полтерович (теоретическая экономика не сумела найти эффективных решений в экономической политике) и др. Кризис экономической теории означает, что она не может выполнять своих функций в полной мере или решать поставленные перед ней задачи, используя существующие методы, т.е. кризис теории - кризис ее метода.В такой период в любой науке назревает проблема модификации или полного изменения господствующей парадигмы. В современной экономической теории доминирует неоклассическая парадигма, основным инструментом анализа которой является математический, и, говоря о кризисе экономической теории, как правило, предполагают кризис неоклассики, возникший в результате одностороннего (в ущерб содержательной стороне) применения этого метода.По этому поводу критики считают: формализм привел к выхолащиванию сути экономической теории как социальной науки, заменив экономическую мысль и искусство экономической политики мертвой, сугубо академической разновидностью социальной математики. Экономика потеряла себя, когда в неистовых попытках втиснуть реальный мир и экономическое знание в теоретические конструкции, как правило, построенные по математическим канонам, экономисты перестали заботиться о содержании и адекватности экономической теории, придавая первоочередное значение форме, в которой последняя могла быть представлена [8, 110].Действительно, если рассматривать реальное состояние экономики с точки зрения выполнения теорией своих практической и прогностической функций, которые осуществляются не без помощи математического метода, то претензии к этому методу небеспочвенны. Экономическая наука еще не выработала методов, которые привели бы к устойчивому бескризисному управлению и долгосрочному прогнозированию экономической системы. Разработка более совершенных математических методов, способных адекватно описывать происходящие процессы, находится, на наш взгляд, лишь в начальной стадии. И она связана прежде всего со становлением нового направления в экономической науке - синергетики.Цель данной статьи - раскрыть природу реального противоречия, существующего между предметом экономической теории и ее методом, в частности математическим, как источника совершенствования методологии экономической науки.В ответ на критику о засилье формализма в экономической теории Вайнтрауб предлагает лучше разобраться в исторической эволюции математики и применении ее в экономике [10]. В.В. Леонтьев пишет: экономика среди прочих общественных наук стала по праву рассматриваться как преимущественно количественная наука. В этом случае методы количественного анализа являются не просто методологическим приемом, применяемым исследователем: они сами по себе являются предметом изучения [5, 72]. В целом, соглашаясь с таким подходом, начнем с рассмотрения эволюции математических методов в истории экономической мысли.Первое в истории применение математического метода в экономических исследованиях мы находим у Уильяма Петти. В 70-е гг. XVII в. им была написана книга "Политическая арифметика", которую можно считать родоначальницей статистики и эконометрики. У. Петти объясняет свой подход так: "...вместо того, чтобы употреблять только слова в сравнительной и превосходной степени и умозрительные аргументы, я вступил на путь выражения своих мнений на языке чисел, весов и мер... используя только аргументы, идущие от чувственного опыта, и рассматривая только причины, имеющие видимые основания в природе" [6, 156].Он требовал точного наблюдения и подсчета экономических явлений. В "Трактате о налогах и сборах" есть характерная фраза, которую можно считать девизом всей теории Петти: "Первое, что необходимо сделать, - это подсчитать...". Он ввел в политэкономию метод абстракции, когда, отвлекаясь от внешней стороны экономических явлений, от их эмпирического описания, мысль углубляется в их внутренние причинно-следственные зависимости, т.е. познает экономические законы, управляющие производством богатства.Франсуа Кенэ, французский экономист и статистик XVIII в., впервые в своей "Экономической таблице" предпринял попытку расчета "годовых доходов и авансов" страны, подобно расчетам ВНП и ЧНП в современном макроэкономическом анализе. Использование математики в работах этих экономистов можно отнести к первому этапу математизации экономической науки.Второй этап связан с возникновением и развитием маржиналистской математической школы. Предшественник маржинализма французский экономист Антуан Огюстен Курно в своей работе "Исследование математических принципов теории богатства" впервые стал использовать математические приемы для выведения экономических законов, и в частности сформулировал на строгом математическом языке закон совокупного спроса, теории монополистического ценообразования, конкурентного механизма и издержек. Курно впервые ввел в научный оборот термин "экономическое равновесие".Выдающимися представителями маржиналистской школы являются Л. Вальрас, К. Викселль, У. Джевонс, В. Парето, Ф. Эджоурт. Они считали, что только с помощью математики можно объяснить экономические явления, а экономическая наука должна занять достойное место в одном ряду с естественными науками.Наиболее сложной проблемой на пути достижения этой цели представлялась проблема измерения экономических явлений. Джевонс по этому поводу писал: "Политическую экономию можно было бы постепенно возвысить до точной науки, если бы коммерческая статистика была гораздо более полной и достоверной, нежели сегодня, дабы можно было при помощи числовых данных придать формулам исчерпывающее значение" [9, 25].Предметом споров являлся вопрос измерения полезности. Экономические процессы маржиналистами анализируются преимущественно количественно, моделируются математически, в виде дифференциальных уравнений для поиска оптимальных величин экономических явлений. В итоге "маржиналистской революции" сформировался подход к экономике как равновесной закрытой системе, где все ее части взаимосвязаны, нет причин и следствий, нет первичного и вторичного. Причем равновесие отождествляется с экономической статикой, динамика же понимается как временное нарушение равновесия, во время которого основные постулаты маржиналистской теории не действуют. В современную экономическую науку вошли и широко используются в исследованиях понятия кривых безразличия и ядра экономической системы Ф. Эджоурта, понятие многоцелевого оптимума В. Парето, модель общего экономического равновесия Л. Вальраса.Представителями математической школы в русской политической экономии второй половины XIX - начала XX в. были В.К. Дмитриев, Ю.И. Жуковский, Е.Е. Слуцкий, Н.А. Столяров, М.И. Туган-Барановский, А.И. Чупров и др. Основными достижениями этой школы являются: уравнение устойчивости потребительского бюджета Слуцкого, математическое исчисление полезных затрат труда с учетом межотраслевых связей Дмитриева и его же математический анализ концепции предельной полезности, математические модели Столярова и Туган-Барановского, синтезирующие маржиналистскую и трудовую теории стоимости. Многие идеи математического направления в русской политической экономии были впоследствии восприняты и развиты советской экономико-математической школой.Третий этап математизации начался со второй половины XX в. Если прежде основным математическим аппаратом были производные и уравнения, то на данной стадии стали главенствовать теория множеств, векторная алгебра, исследование операций. Получили известность и признание работы Е. Домара, В. Леонтьева, М. Моришмы, X. Никайдо, Дж. фон Неймана, П. Самуэльсона, Р. Солоу, Я. Тинбергена, Р. Фриша, Р. Харрода, Дж. Хикса, К. Эрроу и других зарубежных ученых.Видными представителями советской экономико-математической школы, сформировавшейся к 1950 - 1960-м гг. XX в., являлись А.Г. Аганбегян, К.А. Багриновский, А.Г. Гранберг, Л.В. Канторович, B.С. Немчинов, В.В. Новожилов, Н.Я. Петраков, Я.С. Понтрягин, Н.П. Федоренко, С.С. Шаталин и др.Это время признания и широкого продуктивного применения математического метода в экономической теории. Именно в этот период разрабатываются различные экономико-математические модели теории игр, эконометрического анализа, общего рыночного равновесия, экономического роста, межотраслевого баланса, линейного и динамического программирования, оптимального управления и др.Математическая формализация в экономической наукекак противоречивый процессМатематизация экономической науки - это процесс внедрения в нее математических методов, одна из разновидностей формализации [1, 10], понимаемая в самом широком аспекте как отделение формы предмета от содержания. Первоначально формализация знания осуществлялась с помощью естественного языка. "Естественный язык как раз и является той основой, на которой строятся все остальные знаковые системы, применяемые в научном познании. Без использования естественного языка немыслима и формализация знания" [1, 3].Но языковая формализация не обеспечивает однозначного использования понятий, в ряде случаев требуется, чтобы содержание было полностью отображено во внешней форме сообщения. Тогда появляется логическая формализация, обеспечивающая самый высокий уровень коммуникативного контакта между исследователями и требующая обеспечения ряда условий. Среди них: 1) создание "алфавита" формализуемой системы; 2) разработка правил "грамматики", по которым происходит формализация, включая правила логического вывода; 3) выделение аксиом, из которых впоследствии будут выведены теоремы данной теории.Кроме языкового и логического видов формализации возникает еще один, более эффективный и распространенный, метод улучшения качества формализованного знания - математизация.Математическая формализация экономической науки осуществляется в том же порядке: 1) отделение формальной стороны экономического знания от содержательной; 2) появление первых общеупотребительных понятий (труд, процент и т.п.), обеспечивающих коммуникацию; 3) математизация, т.е. замена понятий символами, интерпретация логических связей между понятиями на языке математики.В экономическом исследовании формализацию следует понимать как метод познания, основанный на выявлении и фиксации формальной структуры хозяйственных процессов и явлений, а также как метод, приписывающий содержательным элементам таких процессов или явлении некоторые абстрактные символы и значения. Результатом процесса формализации является создание формализованной модели процесса или явления, позволяющей получить об этом процессе или явлении новое знание и информацию.Формализация экономической науки привела в итоге к методу математического моделирования экономических явлений. Он основывается на принципе аналогии, т.е. изучении реальных объектов, явлений, процессов через подобные им модели. Математическое моделирование экономических процессов и явлений - их описание знаковыми математическими средствами и исследование количественными методами.В научной литературе термины "математическое моделирование" и "формализм" часто используются как взаимозаменяемые. Однако математическая формализация экономической науки развивается как противоречивый процесс. Эта противоречивость проявляется в первую очередь в неоднозначности воздействия формализации на результаты научных исследований.К положительным последствиям математизации экономической науки могут быть отнесены:- точный и ясный язык научного общения, обеспечивающий коммуникацию поколений научного сообщества, что облегчает накопление и приращение знаний;- возможность конструирования, оперирования идеализированными моделями действительности, что позволяет выделить главное, более точно описать существующие закономерности, строго определить структуру тех или иных явлений;- возможность увидеть черты общности у разнородных явлений, т.е. применять одну и ту же модель для анализа различных явлений, меняя лишь обозначения символов;- возможность проверки гипотез, постановки новых проблем и поиска решений;- возможность выявить и уточнить содержание, систематизировать накопленные знания научной теории;- синтез смежных наук.Если систематизировать отрицательные стороны математической формализации в экономической науке, то они сводятся к следующим положениям:- коммуникация ученых за пределами неоклассической парадигмы затруднена;- имеет место преувеличение значения формы в ущерб содержанию экономических аргументов;- происходят отрыв от действительности, реальных экономических проблем и потеря экономического содержания; основная задача экономической науки - понимание реальных экономических процессов и разработка мер экономической политики - остается на заднем плане или вовсе отсутствует;- из экономического анализа

Статья: Экономический анализ: история и перспективы развития (Климова Н.В.) ('Экономический анализ: теория и практика', 2009, n 23)  »

www.lawmix.ru

НЕДОСТАТКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И КРИТИКА МАТЕМАТИЗАЦИИ СОВРЕМЕННОЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ НАУКИ СО СТОРОНЫ ЭКОНОМИСТОВ И ПРЕДСТАВИТЕЛЕЙ ДРУГИХ ДИСЦИПЛИН

Количество просмотров публикации НЕДОСТАТКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И КРИТИКА МАТЕМАТИЗАЦИИ СОВРЕМЕННОЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ НАУКИ СО СТОРОНЫ ЭКОНОМИСТОВ И ПРЕДСТАВИТЕЛЕЙ ДРУГИХ ДИСЦИПЛИН - 136

Математический метод при всœех его бесчисленных достоин­ствах тем не менее имеет при чрезмерном его употреблении ряд существенных недостатков. Эти недостатки анализировались в ра­ботах многих исследователœей, и подобный анализ вполне уме­стен и в отношении экономической науки. Далее мы суммиру­ем всœе эти слабые места математического метода в экономике в четыре базовых пункта:

1) первый недостаток математического метода в экономичес­кой науке связан с тем, что данный метод не способен охватить и описать качественные процессы в экономике, а также дать им адекватное объяснение;

2) второй недостаток математического метода состоит по сути в том, что математический метод с его усложненным математи­ческим аппаратом значительно осложняет восприятие экономи­ческих истин и результатов представителями иных наук — в пер­вую очередь гуманитарных и социальных;

3) третий недостаток математического метода состоит в том, что он виртуализирует экономическую науку, отрывает ее от эмпирической почвы:

ʼʼЭкономическая наука сейчас зашла так далеко, что пытается работать с трудноуловимыми процессами и механизмами, которые отрицают саму возможность тривиальных замеров и традиционной верификации. Все информационно-ментальные процессы (кото­рыми занимается математический метод в экономике. — А. О.) являются чрезвычайно сложными, зыбкими, динамичными и из­менчивыми. Главное же — они в большинстве случаев не имеют Под собой эмпирической основы...

.

Эта ситуация сильно напоминает ту, которая была описана Станиславом Лемом в его знаменитой "Кибериаде". В ней, в ча­стности, говорится о некоем Цереброне Эмдеэртии, который сорок лет излагал в Высшей Школе Небытия Общую Теорию Драконов. Как известно, драконов не существует. При этом, как саркастично замечает С. Лем, эта примитивная конструкция могла удовлетворить лишь ум простака, но отнюдь не ученого. Поэто­му гениальный Цереброн, атаковав проблему методами точных наук, установил, что имеется три типа драконов: нулевые, мни­мые и отрицательные. Все они, разумеется, не существуют, но каждый тип — на свой особый манер. Размещено на реф.рфКак оказалось, нулевые и мнимые драконы не существуют значительно менее интересным способом, чем отрицательные.

Действительно, современная экономическая наука сильно напоминает пресловутую Высшую Школу Небытия. Она рабо­тает с объектами, которые в лучшем случае как бы существуют. Не исключено, что если даже эти объекты и существуют, то со­всœем не так, как предполагает современная экономика. Навер­ное, в связи с этим большинство ее теорий сильно напоминает Общую Теорию Драконовʼʼ';

4) четвертый недостаток математического метода проявляется в том, что он плохо помогает решению практических проблем экономики и неэффективно работает на уровне здравого смы­сла2.

Итоги нашего обсуждения роли и значения математического метода в экономике можно подвести словами английского ес­тествоиспытателя Т. Хаксли: ʼʼМатематика, подобно жернову, лишь перемалывает то, что под него засыплют, и, как, засыпав лебе­ду, вы не получите пшеничной муки, так, исписав целые страни­цы формулами, вы не получите истины из ложных предположенийʼʼ. Эти слова следует помнить каждому экономисту, который, осваивая математический инструментарий, хотел бы привести экономическую науку к новым фундаментальным теориям, ги­потезам и открытиям.

' Балацкий Е.В. О виртуализации экономической науки // Науковедение. 2003. № 1.С. 161-162.

2 Тотже Е.В. Балацкий приводит следующий пример: это крах страхового фонда Long- Term Capital Management, несмотря на то, что его стратегии обосновыва-лисьлауреатами Нобелœевской премии 1997 ᴦ. — Р. Мертоном и М. Скоулзом, получившими эту премию за эффективные математические расчёты в области финансовых рынков (Балацкий Е.В. Мировая экономическая наука на со­временном этапе: кризис или прорыв?// Науковедение. 2001. № 2. С. 33).

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Основными путями внедрения математического метода в эко­ номическую науку являются формализация и математизация.

Формализацию экономического знания следует определить как метод, основанный на выявлении и фиксации формаль­ной структуры хозяйственных процессов и явлений, а так­же как метод, приписывающий содержательным элементам таких процессов (или явлений) некоторые абстрактные сим­волы и значения. Математизация экономического знания — это специфический метод формализации хозяйственных фактов, основанный на использовании процедур измерения, сравнения и счета.

2. В процессе исторической математизации в экономической науке действовало несколько крупных математических школ. Математическая школа — это группа экономистов, живущих в одном регионе и приблизительно в одно и то же время, чья методология явно или неявно утверждает приоритет математических методов над всœеми остальными — как в мак­ роэкономических, так и в микроэкономических исследова­ ниях. Первой значительной математической школой была маржиналистская математическая школа второй половины

XIX в.

3. Существует несколько базовых путей развития математи­ческого метода в современной экономической науке: мате­матическое моделирование экономических процессов, ма­тематическая экономия, эконометрика, методы и методология оптимального управления, теория игр, экономическая ки­бернетика. Особое внимание также должно быть уделœено ма­тематическому эксперименту — как методу, успешно соче­тающему в себе теоретический и эмпирический методы по­знания. 4. К числу базовых недостатков математического метода в эко­номике относятся: а) неспособность охватить качественные процессы в экономике; б) сложность для восприятия пред­ставителями других наук; 3) уход в ʼʼвиртуализациюʼʼ эконо­мического знания; 4) неспособность работать на уровне здра­вого смысла и житейского хозяйственного опыта.

ПОНЯТИЯ И ТЕРМИНЫ

Математическая экономиям Логическая формализация

Языковая формализация Математизация

260

261

Символизация Математический эксперимент

Математическая школа в экономике

Эконометрика Качественная математика

Математическое моделирование Маржиналистская

Математический эксперимент математическая школа

referatwork.ru

Математизация естествознания, математика – язык науки.

МАТЕМАТИЗАЦИЯ НАУЧНОГО ЗНАНИЯ — процесс применения понятий и методов математики в естественных, технических и социально-экономических науках для количественного анализа исследуемых ими явлений. Хотя математизация научного знания началась давно, но только в период современной научно-технической революции приобрела большой размах и значение. Наряду с традиционными областями применения математики, какими являются механика, астрономия, физика и химия, ее методы стали проникать в такие отрасли науки, которые раньше считались не поддающимися математизации ввиду их особой сложности (биология, экономика, социология, лингвистика и др.).

Как и любая другая модель, математическая модель, во-первых, отображает некоторые существенные свойства и отношения оригинала, во-вторых, в точно определенном смысле замещает его и, в-третьих, дает новую информацию о нем. Однако в отличие от материальных моделей они являются разновидностями концептуальных моделей, которые отображают количественно-структурные отношения исследуемых процессов и являются оперативно-символическими по характеру применения. Часто такое моделирование характеризуют как искусство применения математики, причем перевод существенных факторов исследуемых явлений на язык математики считают самой трудной стадией моделирования. Поскольку во многих конкретных приложениях математики имеют дело с анализом величин и взаимосвязей между ними, то нередко математическую модель рассматривают как систему уравнений вместе с известными данными, необходимыми для ее решения (начальные условия, граничные условия, значения коэффициентов уравнения и т. п.). Однако для применения математики в новейших разделах естествознания, а также в социологии, психологии, лингвистике и т. д. приходится обращаться к неметрическим моделям, основанным не на измерении величин, а анализе абстрактных структур и категорий. Построение любой математической модели начинается с установления существенных для изучаемых явлений и процессов их качественных свойств и отношений, которые следует выделить от других несущественных факторов и моментов, затрудняющих исследование. Обычно эта стадия осуществляется в специальных науках. Дальнейший этап моделирования связан с формулированием найденных качественных зависимостей на точном языке математики, т. е. с “переводом” информации качественного характера на количественноструктурный язык. Для этих целей используют все теории и методы современной математики, но этот этап является едва ли не самой трудной частью математического исследования.

Ведь для описания одних и тех же явлений могут быть построены самые разнообразные математические модели. Поэтому необходимо, чтобы модель не слишком упрощала изучаемые явления, но в то же время ее точность находилась в границах, определяемых условиями задачи. Характер математической модели, ее сложность и специфика определяются прежде всего природой тех реальных систем и процессов, которые она описывает. После того, как модель построена, ее исследуют на непротиворечивость, а главное — из нее выводят дедуктивные следствия, которые затем интерпретируют с помощью эмпирических данных. По расхождению или согласию следствий модели и результатов наблюдений и экспериментов делают заключение об адекватности модели реальности.

Основные формы и методы математизации научного знания связаны с теми типами моделей, которые применяются в различных науках. Они весьма разнообразны и многочисленны, начиная от простого счета и измерения и кончая сложнейшими структурными методами и современным математическим экспериментом. Среди них следует выделить, во-первых, метрические или функциональные методы, опирающиеся на измерение величин исследуемых процессов и выявление функциональных связей между ними; во-вторых, структурные методы, ориентированные не столько на измерение величин, сколько на анализ и взаимоотношение элементов, компонентов и подмножеств различных систем и математических структур. Нередко трудно выразить эти отношения определенным числом, хотя возможно представить их с помощью сравнительных терминов “больше”, “меньше” или “равно” и использовать для их анализа структуры порядка. Еще большее применение в последние годы приобрели алгебраические и топологические структуры, напр., понятие графа, часто используемое для анализа малых социальных групп, организации и планирования перевозок, транспортных потоков и т. п.

Среди метрических средств математизации научного знания можно выделить детерминистические методы, основывающиеся на использовании функциональных моделей, начиная от классических дифференциального и интегрального исчислений и кончая функциональным анализом. Они получили наиболее широкое применение благодаря точности и достоверности получаемых из них результатов. Методы другого рода, называемые стохастическими, опираются на статистическую информацию о случайных массовых событиях и поэтому их предсказания имеют вероятностный характер. Долгое время именно последнее обстоятельство надолго задержало их использование в науке, но под воздействием запросов биологии, демографии, экономики и социологии вероятностно-статистические методы получили мощный стимул для развития и стали равноправными средствами математического исследования.

Появление и непрерывное совершенствование быстродействующих вычислительных средств открыло невиданные раньше возможности для применения математических методов в науке и других сферах деятельности. Если раньше из-за отсутствия таких средств приходилось значительно упрощать математические модели и получать приближенные результаты, то с изобретением компьютеров такая необходимость во многом отпала. Уже первые компьютеры могли заменить труд нескольких тысяч профессиональных вычислителей и по мере увеличения их быстродействия во 2 и 3 поколениях получили широкое применение всюду, где требовалось выполнить большой объем различных расчетов (управление производством, расчет траекторий ракет и искусственных спутников Земли, проектирование атомных реакторов и т. п.). Однако только с увеличением быстродействия и особенно “памяти” новых компьютеров они стали использоваться в научном исследовании, во-первых, для работы с ними пользователя в режиме диалога, во-вторых, для проведения математического, или вычислительного, эксперимента. Режим диалога дает возможность исследователю проверять гипотезы путем сопоставления их следствий с большим массивом эмпирических данных и соответственно корректировать их. Математический эксперимент является более мощным средством научного познания, ибо классические методы математизации научного знания опирались на сравнительно простые модели, которые можно было использовать только однократно, причем каждый раз осуществлять все операции заново. В отличие от этого при математическом экспериментировании программа вычислений и математическое обеспечение остаются неизменными, а экспериментирование совершается над математическими моделями путем изменения их параметров. После расчета различных вариантов модели их следствия сравниваются с данными эмпирических наблюдений и натурных экспериментов. Опираясь на эти результаты, можно выбрать наиболее оптимальную модель в качестве решения проблемы. Эффективность использования такого эксперимента зависит не столько от совершенства вычислительной техники, сколько от тщательного и глубокого исследования изучаемых процессов на качественном уровне. Сам такой эксперимент обычно предпринимается для решения крупных научно-технических и глобальных проблем (экологических, энергетических и др.). В некоторых процессах, изучение которых сопряжено с опасностью для жизни и здоровья людей, математический эксперимент остается единственным средством исследования (ядерная энергетика, термоядерный синтез, химические и другие вредные производства и т. д.).

Другим важным направлением применения математических моделей, алгоритмов и современных компьютеров являются исследования по искусственному интеллекту, одна из основных целей которых заключается в эффективном поиске нестандартных приемов решения интеллектуальных задач. Иногда простейшие такие задачи решаются путем простого перебора возможных вариантов и выбора среди них наилучшего, но при большем числе вариантов с этим не может справиться даже мощный компьютер. Между тем человеческий мозг решает подобные задачи значительно быстрее и экономнее, по-видимому, заранее исключая неправдоподобные варианты. Главная идея компьютерного эвристического программирования заключается в ограничении перебора различных вариантов или комбинаций решений путем использования соответствующей дополнительной теоретической или эмпирической информации с тем, чтобы исключить заведомо неверные варианты.

Возможности применения математических методов в любой конкретной науке зависят прежде всего от уровня ее теоретической зрелости. Это, конечно, не исключает их применения и на эмпирической стадии исследования. Однако эти методы являются достаточно элементарными (счет, измерения, сравнения и т. п.) и поэтому на теоретическом уровне требуется использовать более абстрактные математические модели и структуры.

Современная научно-техническая революция значительно ускорила процесс математизации научного знания и выдвинула на первый план проблему математического описания процессов, изучаемых в биологических, социально-экономических и гуманитарных науках. Первой и определяющей причиной математизации научного знания служит воздействие научно-технической революции на все сферы знания, в результате чего многие естественные, технические и частично экономические науки поднялись на качественно новый уровень развития. Введение более общих и абстрактных понятий и создание глубоких теорий в этих науках способствовало дальнейшей их математизации. В этом — вторая причина успехов современной математизации научного знания, которая представляет собой двуединый процесс, включающий рост и развитие конкретных наук, с одной стороны, и совершенствование методов самой математики, с другой. Наконец, третья причина математизации научного знания связана со всевозрастающим использованием все более эффективной электронно-вычислительной техники и других устройств по автоматизации интеллектуальной деятельности. Переворот в вычислительной технике оказал огромное влияние не только на математику и научное познание вообще, но вместе с алгоритмами управления и реализующими их компьютерами эта техника становится составной частью производительных сил современного общества. Замена тяжелого ручного труда машинами, автоматизация производственных процессов, гибкие технологии, промышленные роботы — все эти и другие перспективные направления технического прогресса связаны со все увеличивающимся применением компьютеров и тем самым математических методов исследования.

Объективной основой использования математических методов в конкретных науках служит качественная однородность изучаемых ими различных классов явлений. Именно вследствие такой однородности и общности они оказываются количественно и структурно сравнимыми и поэтому поддающимися математической обработке. Однако чем более сложными и качественно отличными оказываются формы движения материи, тем труднее они поддаются математизации. Самой математизированной наукой является механика, изучающая форму движения, в которой абстрагируются от качественных изменений тел и анализируют лишь результат их движения. Самой сложной и потому наиболее трудной для использования математических методов служит общественная форма, в которой приходится учитывать наряду с объективными различиями социальных систем и структур также субъективные стороны деятельности людей (их цели.волю, интересы, ценностные ориентировки и мотивации и т. п.). Поэтому количественные оценки нередко здесь тесно связаны с качественными, а иногда они отступают на второй план. Математизация научного знания будет эффективной только тогда, когда математизируемая наука будет достаточно зрелой, обладающей сложившимся концептуальным аппаратом. К сожалению, при нынешней моде на математизацию язык символов и формул, строгость и точность математических утверждений и доказательств оказывает гипнотическое влияние на людей, мало искушенных в ней и, главное, не понимающих сущности ее метода. В результате этого нередко за формулами перестают видеть реальное содержание изучаемых процессов.

Похожие статьи:

poznayka.org

МАТЕМАТИЗАЦИЯ НАУЧНОГО ЗНАНИЯ - это... Что такое МАТЕМАТИЗАЦИЯ НАУЧНОГО ЗНАНИЯ?

    МАТЕМАТИЗАЦИЯ НАУЧНОГО ЗНАНИЯ — процесс применения понятий и методов математики в естественных, технических и социально-экономических науках для количественного анализа исследуемых ими явлений. Хотя математизация научного знания началась давно, но только в период современной научно-технической революции приобрела большой размах и значение. Наряду с традиционными областями применения математики, какими являются механика, астрономия, физика и химия, ее методы стали проникать в такие отрасли науки, которые раньше считались не поддающимися математизации ввиду их особой сложности (биология, экономика, социология, лингвистика и др.).     Как и любая другая модель, математическая модель, во-первых, отображает некоторые существенные свойства и отношения оригинала, во-вторых, в точно определенном смысле замещает его и, в-третьих, дает новую информацию о нем. Однако в отличие от материальных моделей они являются разновидностями концептуальных моделей, которые отображают количественно-структурные отношения исследуемых процессов и являются оперативно-символическими по характеру применения. Часто такое моделирование характеризуют как искусство применения математики, причем перевод существенных факторов исследуемых явлений на язык математики считают самой трудной стадией моделирования. Поскольку во многих конкретных приложениях математики имеют дело с анализом величин и взаимосвязей между ними, то нередко математическую модель рассматривают как систему уравнений вместе с известными данными, необходимыми для ее решения (начальные условия, граничные условия, значения коэффициентов уравнения и т. п.). Однако для применения математики в новейших разделах естествознания, а также в социологии, психологии, лингвистике и т. д. приходится обращаться к неметрическим моделям, основанным не на измерении величин, а анализе абстрактных структур и категорий. Построение любой математической модели начинается с установления существенных для изучаемых явлений и процессов их качественных свойств и отношений, которые следует выделить от других несущественных факторов и моментов, затрудняющих исследование. Обычно эта стадия осуществляется в специальных науках. Дальнейший этап моделирования связан с формулированием найденных качественных зависимостей на точном языке математики, т. е. с “переводом” информации качественного характера на количественноструктурный язык. Для этих целей используют все теории и методы современной математики, но этот этап является едва ли не самой трудной частью математического исследования.     Ведь для описания одних и тех же явлений могут быть построены самые разнообразные математические модели. Поэтому необходимо, чтобы модель не слишком упрощала изучаемые явления, но в то же время ее точность находилась в границах, определяемых условиями задачи. Характер математической модели, ее сложность и специфика определяются прежде всего природой тех реальных систем и процессов, которые она описывает. После того, как модель построена, ее исследуют на непротиворечивость, а главное — из нее выводят дедуктивные следствия, которые затем интерпретируют с помощью эмпирических данных. По расхождению или согласию следствий модели и результатов наблюдений и экспериментов делают заключение об адекватности модели реальности.     Основные формы и методы математизации научного знания связаны с теми типами моделей, которые применяются в различных науках. Они весьма разнообразны и многочисленны, начиная от простого счета и измерения и кончая сложнейшими структурными методами и современным математическим экспериментом. Среди них следует выделить, во-первых, метрические или функциональные методы, опирающиеся на измерение величин исследуемых процессов и выявление функциональных связей между ними; во-вторых, структурные методы, ориентированные не столько на измерение величин, сколько на анализ и взаимоотношение элементов, компонентов и подмножеств различных систем и математических структур. Нередко трудно выразить эти отношения определенным числом, хотя возможно представить их с помощью сравнительных терминов “больше”, “меньше” или “равно” и использовать для их анализа структуры порядка. Еще большее применение в последние годы приобрели алгебраические и топологические структуры, напр., понятие графа, часто используемое для анализа малых социальных групп, организации и планирования перевозок, транспортных потоков и т. п.     Среди метрических средств математизации научного знания можно выделить детерминистические методы, основывающиеся на использовании функциональных моделей, начиная от классических дифференциального и интегрального исчислений и кончая функциональным анализом. Они получили наиболее широкое применение благодаря точности и достоверности получаемых из них результатов. Методы другого рода, называемые стохастическими, опираются на статистическую информацию о случайных массовых событиях и поэтому их предсказания имеют вероятностный характер. Долгое время именно последнее обстоятельство надолго задержало их использование в науке, но под воздействием запросов биологии, демографии, экономики и социологии вероятностно-статистические методы получили мощный стимул для развития и стали равноправными средствами математического исследования.     Появление и непрерывное совершенствование быстродействующих вычислительных средств открыло невиданные раньше возможности для применения математических методов в науке и других сферах деятельности. Если раньше из-за отсутствия таких средств приходилось значительно упрощать математические модели и получать приближенные результаты, то с изобретением компьютеров такая необходимость во многом отпала. Уже первые компьютеры могли заменить труд нескольких тысяч профессиональных вычислителей и по мере увеличения их быстродействия во 2 и 3 поколениях получили широкое применение всюду, где требовалось выполнить большой объем различных расчетов (управление производством, расчет траекторий ракет и искусственных спутников Земли, проектирование атомных реакторов и т. п.). Однако только с увеличением быстродействия и особенно “памяти” новых компьютеров они стали использоваться в научном исследовании, во-первых, для работы с ними пользователя в режиме диалога, во-вторых, для проведения математического, или вычислительного, эксперимента. Режим диалога дает возможность исследователю проверять гипотезы путем сопоставления их следствий с большим массивом эмпирических данных и соответственно корректировать их. Математический эксперимент является более мощным средством научного познания, ибо классические методы математизации научного знания опирались на сравнительно простые модели, которые можно было использовать только однократно, причем каждый раз осуществлять все операции заново. В отличие от этого при математическом экспериментировании программа вычислений и математическое обеспечение остаются неизменными, а экспериментирование совершается над математическими моделями путем изменения их параметров. После расчета различных вариантов модели их следствия сравниваются с данными эмпирических наблюдений и натурных экспериментов. Опираясь на эти результаты, можно выбрать наиболее оптимальную модель в качестве решения проблемы. Эффективность использования такого эксперимента зависит не столько от совершенства вычислительной техники, сколько от тщательного и глубокого исследования изучаемых процессов на качественном уровне. Сам такой эксперимент обычно предпринимается для решения крупных научно-технических и глобальных проблем (экологических, энергетических и др.). В некоторых процессах, изучение которых сопряжено с опасностью для жизни и здоровья людей, математический эксперимент остается единственным средством исследования (ядерная энергетика, термоядерный синтез, химические и другие вредные производства и т. д.).     Другим важным направлением применения математических моделей, алгоритмов и современных компьютеров являются исследования по искусственному интеллекту, одна из основных целей которых заключается в эффективном поиске нестандартных приемов решения интеллектуальных задач. Иногда простейшие такие задачи решаются путем простого перебора возможных вариантов и выбора среди них наилучшего, но при большем числе вариантов с этим не может справиться даже мощный компьютер. Между тем человеческий мозг решает подобные задачи значительно быстрее и экономнее, по-видимому, заранее исключая неправдоподобные варианты. Главная идея компьютерного эвристического программирования заключается в ограничении перебора различных вариантов или комбинаций решений путем использования соответствующей дополнительной теоретической или эмпирической информации с тем, чтобы исключить заведомо неверные варианты.

    Возможности применения математических методов в любой конкретной науке зависят прежде всего от уровня ее теоретической зрелости. Это, конечно, не исключает их применения и на эмпирической стадии исследования. Однако эти методы являются достаточно элементарными (счет, измерения, сравнения и т. п.) и поэтому на теоретическом уровне требуется использовать более абстрактные математические модели и структуры.

    Современная научно-техническая революция значительно ускорила процесс математизации научного знания и выдвинула на первый план проблему математического описания процессов, изучаемых в биологических, социально-экономических и гуманитарных науках. Первой и определяющей причиной математизации научного знания служит воздействие научно-технической революции на все сферы знания, в результате чего многие естественные, технические и частично экономические науки поднялись на качественно новый уровень развития. Введение более общих и абстрактных понятий и создание глубоких теорий в этих науках способствовало дальнейшей их математизации. В этом — вторая причина успехов современной математизации научного знания, которая представляет собой двуединый процесс, включающий рост и развитие конкретных наук, с одной стороны, и совершенствование методов самой математики, с другой. Наконец, третья причина математизации научного знания связана со всевозрастающим использованием все более эффективной электронно-вычислительной техники и других устройств по автоматизации интеллектуальной деятельности. Переворот в вычислительной технике оказал огромное влияние не только на математику и научное познание вообще, но вместе с алгоритмами управления и реализующими их компьютерами эта техника становится составной частью производительных сил современного общества. Замена тяжелого ручного труда машинами, автоматизация производственных процессов, гибкие технологии, промышленные роботы — все эти и другие перспективные направления технического прогресса связаны со все увеличивающимся применением компьютеров и тем самым математических методов исследования.     Объективной основой использования математических методов в конкретных науках служит качественная однородность изучаемых ими различных классов явлений. Именно вследствие такой однородности и общности они оказываются количественно и структурно сравнимыми и поэтому поддающимися математической обработке. Однако чем более сложными и качественно отличными оказываются формы движения материи, тем труднее они поддаются математизации. Самой математизированной наукой является механика, изучающая форму движения, в которой абстрагируются от качественных изменений тел и анализируют лишь результат их движения. Самой сложной и потому наиболее трудной для использования математических методов служит общественная форма, в которой приходится учитывать наряду с объективными различиями социальных систем и структур также субъективные стороны деятельности людей (их цели. волю, интересы, ценностные ориентировки и мотивации и т. п.). Поэтому количественные оценки нередко здесь тесно связаны с качественными, а иногда они отступают на второй план. Математизация научного знания будет эффективной только тогда, когда математизируемая наука будет достаточно зрелой, обладающей сложившимся концептуальным аппаратом. К сожалению, при нынешней моде на математизацию язык символов и формул, строгость и точность математических утверждений и доказательств оказывает гипнотическое влияние на людей, мало искушенных в ней и, главное, не понимающих сущности ее метода. В результате этого нередко за формулами перестают видеть реальное содержание изучаемых процессов.

    Лит.: Математическое моделирование. М., 1979; Моисеев Η. Η. Математика ставит эксперимент. М., 1979: Тихонов А. //., Костомаров Д. П. Рассказы о прикладной математике. М.. 1979; Рузавин Г. И. Математизация научного знания. М.. 1984.

    Г. И. Рузавин

Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль. Под редакцией В. С. Стёпина. 2001.

dic.academic.ru

математизация науки - это... Что такое математизация науки?

        МАТЕМАТИЗАЦИЯ НАУКИ — применение математики для теоретического представления научного знания. И само научное знание, и математика, и математизация научного знания зародились в античности. Первую математическую концепцию природы создали пифагорейцы («все вещи суть числа»). Платон продолжил пифагорейскую традицию, выдвинув на первый план геометрию («Бог всегда является геометром»). Теория материи Платона — это теория правильных многогранников. Аристотель не отрицал значения математики в познании природы, но полагал научные понятия извлеченными из реального мира абстракциями, которые могут быть полезными при описании явлений. Позже, в эллинистический период, Евклид создал первую аксиоматико-дедуктивную систему геометрии, ставшую основой математизации античных оптики и статики (Евклид и Архимед) и астрономии (Птолемей). Античное наследие было сохранено и преумножено (в плане математизации научного знания) арабскими учеными и средневековыми мыслителями. Р. Бэкон, напр., считал, что в основе всех наук должна лежать математика. В эпоху Возрождения математичность природы так же, как в античное и в средневековое время, обожествлялась. Наиболее впечатляющим достижением математического подхода к астрономии стала гелиоцентрическая система Н. Коперника. В Новое время и корифеи точного естествознания (И. Кеплер, Г. Галилей, X. Гюйгенс, И. Ньютон), и философы (Ф. Бэкон, Р. Декарт, Г. Лейбниц) считали математику (геометрию) «прообразом мира» (напр., лейбницевское: «Cum Deus calculat, fit Mundus», т.е. «Как Бог вычисляет, так мир и делает»).

        Ньютон в «Математических началах натуральной философии» говорил о «подчинении явлений законам математики», и хотя он использовал язык геометрии, для формулировки законов механики ему пришлось создать дифференциальное и интегральное исчисление. Впервые был осуществлен прорыв за пределы евклидовой геометрии как математической структуры физики: благодаря усилиям Ньютона, Лейбница, К. Маклорена, Л. Эйлера классическая механика предстала как теория обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка. При этом важнейшую стимулирующую роль в возникновении и развитии математического анализа и теории дифференциальных уравнений сыграли задачи классической механики.

        В дальнейшем были выявлены и др. математические представления механики, положившие начало феномену аналитической механики (Ж.Л. Лагранж), нацеленному на изучение математических структур классической механики. Оказалось, что ее можно сформулировать как вариационное исчисление (Эйлер, Лагранж, У Р. Гамильтон, К.Г. Якоби, М.В. Остроградский), как теорию дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка (Гамильтон, Якоби, С. Ли), как риманову геометрию (Якоби, Р. Липшиц, Г. Дарбу, Г. Герц), как симплектическую геометрию (Лагранж, Гамильтон, Остроградский, Ли). Эти отождествления оказали решающее воздействие на развитие математики в 19 в. и выявили структурно-математическую мощь классической механики (в соответствии с «математическим» критерием эффективности исследовательской программы И. Лакатоса, мощь программы определяется степенью ее влияния на развитие математики; этот критерий имеет родство с критерием «хорошей» теории Р. Фейнмана, согласно которому качество теории определяется возможностью ее представления на языке различных математических формализмов). Лагранжев, Гамильтонов и др. формализмы аналитической механики обнаружили удивительную живучесть, сыграв важную роль в создании квантовых и релятивистских теорий 20 в.

        Классико-механическая программа (и соответствующая картина мира) открыла описанный выше способ математизации точного естествознания, который, несмотря на значительное количество приверженцев от П.С. Лапласа до Г. Гельмгольца и Дж. Максвелла, оказался весьма ограниченным. Физика (как наука о свете, теплоте, электричестве и магнетизме), которая, за небольшим исключением, до начала 19 в. не имела теоретического оформления, подобного классической механике, потребовала привлечения нового типа математизации. Решающим поворотом стало интенсивное использование математического анализа для представления элементарных феноменологических соотношений в теоретической форме, не сводящейся к классической механике. На этом пути в первой четверти 19 в. были созданы (в основном, усилиями франц. ученых С.Д. Пуассона, Ж.Б. Фурье, A.M. Ампера, О. Френеля, С. Карно и др.) математическая электростатика, теория теплопроводности, элементы термодинамики, электродинамика, волновая оптика.

        В 1860—1870-е создание классической физики, сопряженное с ее математизацией, в основном, было завершено (теория электромагнитного поля Максвелла, термодинамика В. Томсона и Р. Клаузиуса, основы статистической механики Максвелла и Л. Больцмана). Математический анализ и, прежде всего, теория дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка, оставались основной математической структурой классической физики. Но, вместе с тем, важными дополнительными инструментами ее математизации стали векторное исчисление и теория вероятностей. В кристаллографии получила применение теория групп. К концу 19 в. выявилась фундаментальная особенность основных дифференциальных уравнений классической физики — их вариационная структура, т.е. возможность их получения на основе вариационного исчисления (из вариационных принципов, прежде всего принципа Гамильтона).

        Математизация др. естественных наук осуществлялась через посредство физики и классической механики (небесная механика, астрофизика, некоторые разделы химии и др.). А. Пуанкаре на рубеже 19 и 20 вв. связал математико-аналитическую (т.е. опирающуюся на математический анализ и дифференциальные уравнения) природу классической физики с ее локальностью и однородностью. В результате знание элементарного факта позволяло получить описание процесса посредством дифференциальных уравнений, интегрирование которых вело к описанию множества наблюдаемых явлений. Отсутствие в биологии характерных для физики локальности, однородности, простых элементарных соотношений препятствовало согласно Пуанкаре, математизации би препятствоологических наук.

        Научная революция, произошедшая в физике в первой трети 20 в., существенно изменила взаимоотношения физики и математики. Кроме того, математика сыграла существенную роль в самой этой революции. Прежде всего, при построении теории относительности, особенно общей, и квантовой механики в полной мере проявилась опережающая роль математики. В отличие от классики, в которой математике (дифференциальным уравнениям) предшествовало установление связи физических понятий с математическими величинами, при разработке релятивистских и квантовых теорий отыскание адекватной математической структуры опережало ее физическое осмысление. Так, при создании общей теории относительности сначала была найдена риманова структура пространства—времени и тензорно-геометрическая концепция гравитации и только после этого была прояснена собственно физическая сторона дела. При создании квантовой механики также сначала были установлены математические основы теории (напр., уравнение Шредингера для волновой функции, физический смысл которой оставался неясным), и только после этого была развита физическая интерпретация теории (вероятностная трактовка волновой функции, принципы неопределенности и дополнительности). Именно эти достижения теоретической физики позволили говорить о «предустановленной гармонии» между математикой и физикой ( Г. Минковский, Ф. Клейн, Д. Гильберт, А. Эйнштейн и др.), или о «непостижимой эффективности математики в естественных науках» (Е. Вигнер). В какой-то степени это выглядело как возрождение пифагорейско-платоновской концепции математизации научного знания или его более современного варианта в духе Кеплера, Ньютона и Лейбница.

        Если классическая физика выглядела, с математической точки зрения, прежде всего, как теория дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка и, соответственно, математико-аналитическая структура была определяющей, то в неклассической науке на передний план выдвинулись теория групп преобразований и их инвариантов, дифференциально-геометрические структуры и функциональный анализ. Большое значение сохраняли также теория дифференциальных уравнений и вариационное исчисление, с помощью которых формулировались законы движения, а также теория вероятностей, позволяющая корректно сформулировать понятие состояния в статистической и квантовой механике. Теоретико-инвариантный подход, ставший после создания специальной теории относительности мощным и универсальным средством построения теории, означал распространение «Эрлангенской программы» Ф. Клейна на физику; иначе говоря, вел к пониманию научных теорий, прежде всего, как теорий инвариантов некоторых лежащих в их основе фундаментальных групп симметрии. Общая теория относительности привела впервые к геометризации физического взаимодействия (а именно — гравитации) на языке теории римановых искривленных пространств. Переход от классики к квантам соответствовал переходу к бесконечномерному гильбертову пространству состояний и самосопряженным операторам, т.е. переходу от обычного анализа к функциональному. Дальнейшее развитие во второй половине 20 в. вводило в оборот такие разделы, как геометрию расслоенных пространств, топологию, бесконечномерные алгебры Ли и т.д.

        Триумфы интенсивной математизации в создании неклассической физики привели к такому пониманию роли математики, когда она рассматривается не только как средство количественного описания явлений, но и как «главный источник представлений и принципов, на основе которых зарождаются новые теории» (Ф. Дайсон). Вплоть до настоящего времени надежды на прорыв в фундаментальной физике теоретики связывают с поиском математических структур, математических образов, ранее не связывавшихся с реальностью (Ю.И. Мании). По существу, это близко к методу математической гипотезы, важность которого в неклассической физике подчеркивал еще СИ. Вавилов.

        Несмотря на устойчивую традицию считать упомянутую выше «предустановленную гармонию» символом веры теоретиков, либо ключевым «эмпирическим законом эпистемологии», и поэтому избегать поиска оснований этой гармонии, есть несколько перспективных подходов к ее объяснению (истолкованию).

        Первый — историко-научный — опирается на эстафетную модель развития физики (естествознания) и математики Д. Гильберта. Согласно этой модели, эффективность математики в отношении физики основана «на... повторяющейся и сменяющейся игре между мышлением и опытом»; на том, что математические концепции в своих истоках восходят к внешнему миру, к физической реальности, развиваясь затем относительно автономно до мощных абстрактных теорий, которые, в свою очередь, оказываются удивительно подходящими для описания новых пластов естествознания, как бы возвращая ему долг. Существует подход, основанный на резонном замечании об определенном родстве (или даже совпадении) некоторых основных методологических принципов физики и математики (Н.Ф. Овчинников и др.). Таковыми, напр., являются принципы симметрии (инвариантности), сохранения, соответствия и др. В «предустановленной гармонии» между физикой и математикой, конечно, присутствует эстетический момент. Иногда даже полагают, что целесообразно ввести понятие «математической красоты» физических теорий и что именно с ним связана эта гармония (П. Дирак, С. Вайнберг). В процессе математизации происходит, своего рода, «естественный отбор» эффективных структур, и именно с ними ассоциируется понятие математической красоты. С этим отбором может быть связано стремление теоретиков отдавать предпочтение задачам, имеющим «красивые решения». Само понятие, или чувство, «математической красоты» эволюционировало от закономерностей целых чисел и правильных многогранников к евклидовой геометрии и от нее — к математическому анализу и к дифференциальным уравнениям, а затем от них — к теории групп, дифференциально-геометрическим структурам и к функциональному анализу. Известны также попытки связать «предустановленную гармонию» между физикой и математикой с устройством нашего мозга, с физико-математической природой нашего мышления (сознания) (Р. Пенроуз, Ж.П. Шанже).

        Конечно, возможна переоценка математического начала при разработке научных теорий, когда надежды на «математическое решение» научных проблем не оправдываются. Так произошло, напр., при попытках построения единой теории поля, основанных на использовании более общих геометрий, чем риманова. Несмотря на элегантные и мощные геометрические методы, из-за отсутствия физических оснований для геометризации электромагнитного поля эти попытки оказались безуспешными.

        При этом едва ли следует опасаться так называемого «пифагорейского синдрома» (выражение Р. А. Аронова), истолковываемого как неоправданное отождествление математических форм и теоретических структур с формами и структурами объективного мира. Оправданием такого отождествления является успех теории (так было при создании общей теории относительности и квантовой механики). Если отождествление не ведет к успеху, соответствующая математическая гипотеза отбрасывается. Однако не оправдавшиеся на данном этапе математические структуры могут быть не только ценными для математики, но и оказаться полезными при последующем развитии физической теории. Таковыми, напр., оказались геометрия Вейля и пятимерное обобщение римановой геометрии, не приведшие к успешному решению проблемы единой теории поля, но ставшие источниками таких важных физических концепций, как калибровочная трактовка поля и идея многомерного пространства.

        Научно-техническая революция 1940—1960-х, связанная с освоением ядерной энергии и космического пространства, с созданием компьютеров, лазеров и т.п., привела к новой волне математизации естественных и технических наук, внесшей, в свою очередь, значительный вклад в эту революцию. Ключевым достижением здесь было создание электронных цифровых машин и концепции вычислительного эксперимента, радикально расширивших масштабы математизации, включив в ее сферу не только задачи управления и экономики, но отчасти и гуманитарные науки.

        На стыке различных наук во второй половине 20 в. сформировалось новое синтетическое направление математизации науки, получившее название синергетики, или нелинейной динамики, в котором центральное место заняли нелинейные задачи, процессы самоорганизации и стохастизации динамики. С одной стороны, в рамках этого направления удалось решить ряд важных задач физики и техники, а также математизировать важные разделы химии, биологии и социальных наук. А с другой—привело к новым импульсам для развития математики (нелинейные дифференциальные уравнения, фрактальная геометрия, теория особенностей дифференцируемых отображений и т.д.).

        Математизации физики сопутствует нередко обратный процесс — физикализация математики. Это выражается, с одной стороны, в содержательности и плодотворности математических концепций, порожденных физикой (В.И. Арнольд). С др. стороны, теоретическая физика иногда побуждает математиков к преобразованию даже оснований математики (Дж. Неструев, A.M. Виноградов).

        Спорным является вопрос о том, считать ли математизацию одним из методологических принципов физики (Н.Ф. Овчинников, И.А. Акчурин) наряду с принципами симметрии, соответствия и др., или рассматривать ее как отдельную общую черту теоретизации научного знания. Независимо от ответа на этот вопрос, следует признать, что математизация всегда была, и продолжает оставаться, главным и эффективнейшим средством теоретизации научного знания, развитие которого оказывает мощное воздействие на саму математику. При этом приходится констатировать, что проблема математизации науки относится к числу важнейших проблем методологии науки, требующих дальнейшего исследования.

        В.П. Визгин

        Лит.: Вигнер Е. Этюды о симметрии. М., 1971; Методологические принципы физики. История и современность. / Отв. ред. Б.М. Кедров и Н.Ф Овчинников. М., 1975; Манин Ю.И. Математика и физика. М., 1979; Клайн М. Математика. Утрата определенности. М., 1984; Клайн М. Математика. Поиск истины. М., 1988; Вейль Г. Математическое мышление. М., 1989; Визгин В.П. Математика в классической физике // Физика XIX—XX вв. в общенаучном и социокультурном контекстах: физика XIX в. М., 1995; Овчинников Н.Ф. Принципы теоретизации знания. М., 1996; Кобзарев И.Ю., Манин Ю.И. Элементарные частицы: Диалоги физика и математика. М., 1997; Визгин В.П. Математика в квантово-релятивистской революции // Физика 19—20 вв. в общенаучном и социокультурном контекстах. Физика XX в. М., 1997; Шанже Ж.-П., Конн А. Материя и мышление. М.—Ижевск, 2004; Трубецков Д.И. Введение в синергетику. Хаос и структуры. М., 2004; Вайнберг С. Мечты об окончательной теории: физика в поисках самых фундаментальных законов природы. М., 2004.

        М. Н. — процесс внедрения средств математики в исследовательскую практику различных областей познания. С самых первых шагов становления науки язык математики рассматривался многими естествоиспытателями в качестве варианта общенаучного языка профессионального сообщества. Напр., Галилей, используя образ Природы как книги, считал, что эта книга написана языком математики. Позднее даже появилась идея о том, что зрелость той или иной дисциплины определяется по степени использования в ней математических средств и методов. Подобное отношение во многом обусловлено четкостью структурной организованности и максимальной абстрактностью математического языка. Данная его особенность позволяет для выражения содержания весьма удаленных друг от друга областей знания использовать одну и ту же математическую форму. Напр., одна и та же система дифференциальных уравнений может описывать такие различные по своей природе процессы, как перемещение электронов в проводнике, движение потока жидкости или динамику кадровых перемен в какой-либо фирме. В силу того, что математика оперирует абстрактными (идеальными) объектами, созданными средствами формального языка, ее использование в различных научных дисциплинах обеспечивает возможность достаточно компактным образом представить большой объем данных, которые в обобщенной форме отображают наиболее универсальные типы связей и отношений, фиксируемые специалистами в объективной реальности. Модели действительности, конструируемые с помощью математических средств, в первую очередь, выражают количественные соотношения между элементами описываемых структур, а также дают возможность достаточно наглядно представить порядок их организации. Поскольку подобные модели чаще всего замещают в познавательных актах весьма обширные классы подобного рода характеристик, постольку использование математического языка часто способствует получению информации о таких объектах, с которыми исследователь не вступает в непосредственный эмпирический контакт. Более того, с помощью математики можно описывать такие объекты, реальность существования которых представляется в некоторый данный момент чисто гипотетически. Данным обстоятельством, в частности, обусловлено и то, что в практике современного научного познания все шире применяется такой вид экспериментального исследования, как математический эксперимент. В процессе представления того или иного объекта посредством определенной системы математических выражений, ученый может менять соответствующие элементы таких выражений, что интерпретируется в качестве изменения условий функционирования самого объекта. В результате возникают новые знаковые конструкции. Придавая им определенный содержательный смысл, ученый может получить новые сведения о свойствах окружающей реальности, не вступая в непосредственное практическое взаимодействие с какими-то ее фрагментами.

        Этим во многом объясняется стремление представителей самого различного рода наук как можно шире применять в своих исследованиях всевозможные формальные средства и методы. Однако практика реального научного познания обнаруживает множество трудностей, связанных с попытками математического оформления результатов, получаемых представителями экспериментального естествознания. Еще в большей степени это относится к области социального и гуманитарного познания. Языковые системы, используемые в таких дисциплинах, не всегда успешно соотносятся с формальными структурами, с помощью которых строится математика. Многие физики или биологи отмечают, что при попытках применить в своей области язык математики, они вынуждены опускать важные, с точки зрения их подхода, характеристики изучаемых объектов в силу отсутствия соответствующих формальных аналогов. В то же время менее значимые особенности этих объектов, достаточно просто переводимые на математический язык, становятся конструктивными элементами формальных моделей, создаваемых в рамках данных дисциплин. Тем самым, использование языка математики в какой-то степени заставляет исследователей «подгонять» эмпирический материал под образцы описания и объяснения, существующие в этом языке.

        Данное обстоятельство стимулирует поиск новых способов перевода качественных характеристик объектов познания, выявляемых представителями «содержательных» наук, на язык количественно-структурных соотношений. Таким образом, эмпирическое познание оказывает обратное воздействие на развитие самой математики, играя роль своеобразного стимула, способствующего расширению набора формальных средств, с помощью которых строится математика.. Эффективность математического моделирования довольно часто приводит, однако, к неявному отождествлению идеализированных абстрактных объектов, существующих исключительно в соответствующих формализованных конструкциях, с теми реальными процессами и явлениями, для отображения которых подобные конструкции создаются. Это обусловлено тем, что далеко не всегда в достаточной степени учитывается существенная зависимость характера формальной модели от типа языка, используемого для ее построения. Ведь один и тот же комплекс эмпирических данных может быть представлен множеством разнообразных математических моделей, и потому самая сложная теоретическая система всегда оказывается определенным упрощением и схематизацией соответствующей предметной области. Математизация языка науки свидетельствует о растущей теоретизации познания в целом. Действительно, современная наука все в большей степени ориентирована не на особенности непосредственно воспринимаемых объектов и явлений окружающего мира, а на выявление закономерных связей между ними. А так как сами эти связи прямо не воспринимаются исследователями, то для их представления в системах производимого учеными знания приходится использовать чисто формальные средства, замещающие предшествующие наглядные описания изучаемых объектов предметного мира. Чем более фундаментальные и универсальные характеристики действительности удается выявить представителям той или иной области знаний, тем эффективнее становится использование средств математического языка для выражения производимых знаний. На математизацию языка науки существенно влияет и растущая техническая оснащенность научного познания. Применение в исследовательской практике всевозможных приборов и различных технических устройств, использование компьютерных систем для осуществления не только вычислительных операций, но и для проведения математических экспериментов, — все это создает объективные условия для быстро прогрессирующей формализации познавательной деятельности.

        С.С. Гусев

Энциклопедия эпистемологии и философии науки. М.: «Канон+», РООИ «Реабилитация». И.Т. Касавин. 2009.

epistemology_of_science.academic.ru

Формализация и математизация в экономической науке

⇐ ПредыдущаяСтр 67 из 104Следующая ⇒

Формализация и математизация экономического знания, как уже отмечалось, берут свое начало с XIX в. Однако первые попытки относятся еще к XVII–XVIII вв. – это и «Политическая арифметика» У. Петти, и «Экономическая таблица» Ф. Кенэ. Впоследствии формализация экономической науки очень быстро приняла вид математизации экономического знания.

Формализацию в экономическом исследовании следует определить как метод, основанный на выявлении и фиксации формальной структуры хозяйственных процессов и явлений, а также как метод, приписывающий содержательным элементам таких процессов (или явлений) некоторые абстрактные символы и значения.

Формализация экономической науки осуществлялась в несколько этапов, но при этом ни один из них нельзя считать полностью законченным – ведь экономика во многом продолжает оставаться качественной наукой. На первом из них произошло отделение формальной стороны экономического знания от содержательной стороны. Затем появились первые общеупотребительные понятия, обеспечивавшие коммуникацию («труд», «капитал», «процент», «рента» и т. п.). С внедрением математических методов понятия стали заменяться символами, а логические связи между понятиями стали интерпретироваться на языке математических отношений – сравнения, измерения и счета: наступил этап математизации экономического знания.

Математизация экономического знания развивалась, как минимум, в трех направлениях:

1) первое направление – эконометрическое (см. ниже). Задача его состояла во внедрении в экономику принципов статистического измерения и сбора данных, в численном выражении исследуемой реальности и в нахождении меры и границ этого выражения;

2) второе направление – построение различных математических моделей экономической реальности. Можно сказать, что для математического метода это стратегическое направление прорыва.

«Второй тип задач, решаемых математическими методами, состоит в построении формально-количественных, математических моделей исследуемых явлений и процессов. …Моделирование, как правило, связано с системным подходом к изучению явлений и процессов и имеет целью провести анализ структур и функций систем. Сами эти системы и их модели могут быть различной сложности – от моделей отдельных явлений до моделей процессов, охватывающих обширные области объективной реальности»[343]343Ковальзон И.Д. Методы исторических исследований. М., 1987. С. 317.

 

3) третье направление связано с внедрением в экономическую практику модели математического эксперимента.

Это направление основано на применении в экономической науке многократного математического моделирования на быстродействующих компьютерах как эксперимента над моделями (см. ниже). Этот метод позволяет соединить теоретическое (математику) и эмпирическое (эксперимент) в экономическом познании и тем самым компенсировать дефицит обычных эмпирических методов (в частности, экономического эксперимента) в исследовании хозяйственных феноменов;

4) и, наконец, четвертое направление – это неметрическая математизация экономического знания, основанная на переносе в экономическую теорию и практику принципов качественной математики.

Как определить качественную математику?

Качественная математика – это тип математики, который исследует количественные и численные калькуляции в их тесной взаимосвязи с качественными изменениями изучаемых объектов.

Согласно Р. Пэнто и М. Гравитцу, качественную математику можно также охарактеризовать как «гуманитарную математику»[344]344Пэнто Р., Гравитц М. Методы социальных наук. М., 1972. С. 255.

 

Качественная математика в экономических исследованиях применяется в тех случаях, когда экономические отношения проще представить в виде геометрических отношений, отражающих определенные изменения или сдвиги качеств и свойств хозяйственных объектов. Особенно успешно в экономике применяются различные графы, сети, блок-схемы и т. п. Качественный математический метод также можно связывать с проблемой градуирования и шкалирования сложных хозяйственных объектов.

Примером успешного применения в экономике качественной математики может служить «паутинообразная модель» развития отрасли, разработанная голландским экономистом, лауреатом Нобелевской премиии 1969 г. Яном Тинбергеном на основе анализа экономического цикла в свиноводстве[345]345Паутинообразная модель // Экономико-математический энциклопедический словарь. М., 2003. С. 382.

 

 

mykonspekts.ru


Смотрите также